408.　 已知四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.

(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求点E到平面PBC的距离；

(3)求二面角A-BE-D的大小.

(1)证明: 在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点.

又E为AD的中点，∴EF∥PC

又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.

∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC

∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离

过F作FH⊥BC交BC于H，

∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD

∴PC⊥FH.

又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离.

∵∠FCH＝30°，CF＝a.

∴FH＝CF＝a.

(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，

∴AF⊥平面BDC.

∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE，

∴∠FGA为二面角D-BE-A的平面角.

FG＝×＝a,AF＝a.

∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg

即二面角A-BE-D的大小为arctg

407.　 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB；

(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC-A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB

(2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取　　 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面　　　　 C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为　　 AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直线AC′与平面BCC′B′所成的角是arcsin.

406. 　如图，在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α-l-β的大小；

(2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.

∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α-l-β的平面角.

∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α-l-β的大小为45°.

(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB

(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.

405.　 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.

∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

∴sin∠CDD′＝＝

∴CD＝a　 ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC

又在RtΔABC中，AC＝＝a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB中，可得PB＝a.

在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.

在RtΔPAD中，PD＝＝a.

∵PC²+CD²＝(a)²+(a)＝8a²＜(a)²

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P-CD-A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.

∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.

∴∠AEP＝arctan，即二面角P-CD-A的大小为arctan.

(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.

AH为点A到平面PBC的距离.

在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.

即A到平面PBC的距离为a.

说明　 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

404.　 如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有(　　 )

A.α⊥且l⊥m　　　　　　 B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m　　　　　　　 D.α∥β且α⊥

解析：∵mα,m⊥.　 ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩＝l.　 ∴m⊥l.

∴应选A.

说明　 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α-ED-β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

求证：AB∶AC＝k(k为常数)

证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.

∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分别为二面角α-DE-，-DE-β的平面角，它们为定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

＝＝定值.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α-AB-β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.

证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，

∵PC⊥α，PD⊥β

∴PC⊥AB，PD⊥AB

∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.

在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互补.

401.　 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A-CD-B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.

∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.

420.　 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.

解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O₁O₂O₃平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO₁O₂O₃的中心，连接O₁H，O₁O，在RtΔO₁OH中，O₁H＝，OH＝1-r,OO₁＝1+r,∴OO₁²＝O₁H²+OH²，即(1+r)²＝()²+(1-r)²，解得r＝.

419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是(　　 )

A.4　　　　　　 B.3　　　　　　 C.2　　　　　　 D.5

解析： 如图，设球的半径是r，则πBD²＝5π，πAC²＝8π，

∴BD²＝5，AC²＝8.又AB＝1，设OA＝x.

∴x²+8＝r²,(x+1)²+5＝r².

解之，得r＝3

故选B.