398. 平面α内有半径为R的⊙O，过直径AB的端点A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一点，∠CAB=60⁰，求三棱锥P-OBC的侧面积。

解析：三棱锥P-OBC的侧面由△POB、△POC、△PBC三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC为PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POB中，

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PBC中，BC=ABsin60⁰=2a

∴ AC=a

∴ PC=

∴

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POC中，PO=PC=，OC=a

∴

∴ S_侧=

397. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA₁与底面两边AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7

　 (1)求证：AA₁⊥BC；(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；(4)求AA₁到侧面BB₁C₁C的距离。

解析：设A₁在平面ABC上的射影为0

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC

∴ O在∠BAC的平行线AM上

∵ △ABC为正三角形

∴ AM⊥BC

又AM为A₁A在平面ABC上的射影

∴ A₁A⊥BC

　 (2)

∵ B₁B∥A₁A

∴ B₁B⊥BC，即侧面BB₁C₁C为矩形

∴

又

∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB

∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=

∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

　 (4)把线A₁A到侧面BB₁C₁C的距离转化为点A或A₁到平面BB₁C₁C的距离

为了找到A₁在侧面BB₁C₁C上的射影，首先要找到侧面BB₁C₁C的垂面

设平面AA₁M交侧面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥侧面BCC₁B₁

在平行四边形AA₁M₁M中

过A₁作A₁H⊥M₁M，H为垂足

则A₁H⊥侧面BB₁C₁C

∴ 线段A₁H长度就是A₁A到侧面BB₁C₁C的距离

∴

396. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE

　 (1)求△ADE的面积；(2)求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE的边长

AE=a，AD=a，DE=

∴ 截面ADE为等腰三角形

　 S=

　 (2)∵ 底面ABC⊥侧面AA₁C₁C

∴ △ABC边AC上的高BM⊥侧面AA₁C₁C

下设法把BM平移到平面AED中去

取AE中点N，连MN、DN

∵ MNEC，BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面ADE⊥平面AA₁C₁C

395. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，∠BAC=30⁰，BC=1，AA₁=，M为CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M。

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=90⁰

∴ ∠A₁C₁B₁=90⁰

即B₁C₁⊥C₁A₁

又由CC₁⊥平面A₁B₁C₁得：CC₁⊥B₁C₁

∴ B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴ AC₁为AB₁在平面AA₁C₁C的射影

由三垂线定理，下证AC₁⊥A₁M即可

在矩形AA₁C₁C中，AC=A₁C₁=，AA₁=CC₁=

∵ ，

∴

∴ Rt△A₁C₁M∽Rt△AA₁C₁

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=90⁰

∴ ∠1+∠3=90⁰_­

∴ AC₁⊥A₁M

∴ AB₁⊥A₁M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

394. 如右图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

(1)求证：AC⊥面ABC₁；

(2)求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

(3)求此三棱柱体积的最小值。

解析：(1)由棱柱性质，可知A₁C₁//AC

　　　　　　 ∵A₁C₁BC₁，　

　　　　　　 ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

　　　　 (2)由(1)知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁

　　　　　 　　在平面ABC₁内，过C₁作C₁HAB于H，则C₁H平面ABC，故点C₁在平面ABC上

　　　　　　　 的射影H在直线AB上。

　　　　 (3)连结HC，由(2)知C₁H平面ABC，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=

　　　　　　　 V_棱柱=

　　　　　　　 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3。

393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，求侧面与底面所成的角的大小。

解析：如图，正四棱锥P-ABCD的一个对角面△PAC。设棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h′，底面中心为O，连PO，则PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h，

　　　　 ∴

　　　　 在△PBC中，°

　　　　 ∴

　　　　 ∴h:h′=.

　　　　 取BC中点E，连OE，PE，可证∠PEO即为侧面与底面所成两面角的平面角。

　　　　 在Rt△POE中，sin∠PEO=，

　　　　 ∴∠PEO=，即侧面与底面所成的角为.

392. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成角；(2)求BP与平面PCD所成的角

解析：(1)PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，

cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°．

　 (2)过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，

∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30°　 即BP与平面PCD所成角为30°．

391. 如图，△ABC为锐角三角形，PA⊥平面ABC，A点在平面PBC上的射影为H，求：H不可能是△PBC的垂心．

解析：连结CH，则CH是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心，则CH⊥PB，由三垂线定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，从而AC⊥AB与△ABC为锐角三

角形矛盾，故H不可能是垂心．

410.　 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.

证明　 ∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.

∵　 X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.

∴　 点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.

409. 若ΔABC所在的平面和ΔA₁B₁C₁所在平面相交，并且直线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，求证：

(1)AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内；

(2)如果AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA₁∩BB₁＝O,

∴AA₁、BB₁确定平面BAO，

∵A、A₁、B、B₁都在平面ABO内，

∴AB平面ABO；A₁B₁平面ABO.

同理可证，BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

证明：如图，设AB∩A₁B₁＝P；

AC∩A₁C₁＝R；

∴　 面ABC∩面A₁B₁C₁＝PR.

∵　 BC面ABC；B₁C₁面A₁B₁C₁，

且　 BC∩B₁C₁＝Q　　　 ∴　 Q∈PR,

即　 P、R、Q在同一直线上.