388. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm²的菱形，∠ADC是锐角.

求证：PA⊥CD

证明：设∠ADC=θ，则：由S_ABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°

∴△ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AE⊥CD，PE⊥CD

AE⊥CD，PE⊥CD　 ∴CD⊥平面PAE　　 ∴CD⊥PA

387. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)　　　　　 求证：MN⊥CD；

(2)　　　　　 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．

证明　(1)连AC∩BD＝O，连NO，MO，则NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．

∵MO⊥AB，∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD；

(2)∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，

由△PAM≌△CBM得PM＝CM，

∵N为PC中点，∴MN⊥PC．

又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．

386. P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，则点P到边CD的距离是　　　

解析：2a．

PA⊥平面ABCDEF，A到CD的距离为，∴P到边CD的距离是2a

385. △ABC在平面α内，∠C＝90°，点Pα，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P到平面α的距离等于　　　

解析：．

∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α内的射影为△ABC的外心O，∵∠C＝90°，∴O为AB的中点，∵AO＝5，PA＝7，∴PO＝

384. 直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C₁，且C₁AB，则△C₁AB为 　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　 )

(A)锐角三角形　　　　　　　　 (B)直角三角形

(C)钝角三角形　　　　　　　　 (D)以上都不对

解析：(C)

∵C₁A²+C₁B²<CA²+CB² ＝AB, ∴∠AC₁B为钝角，则△C₁AB为钝角三角形．

383. 四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有　　　　　　 (　 )

(A)1个　　　　　 (B)2个

(C)3个　　　　　 (D)4个

解析：(D)

设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．

382. 如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．

(1)　　　　　 求证：PC⊥CD；

(2)　　　　　 求点B到直线PC的距离．

解析：(1)要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．(2)从B向直线PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三边，并判断其形状(事实上，这里的∠PBC＝90°)；另一种重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影．

证明　(1)取AD的中点E，连AC，CE，

则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形．

∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；

解　(2)连BE交AC于O，则BE⊥AC，

又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．

过O作OH⊥PC于H，连BH，则BH⊥PC．

∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，则OH＝，

∵BO＝，∴BH＝

381. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱A₁A的中点，N在AB上，且AN∶NB＝1∶3，求证：C₁M⊥MN．

解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C₁M与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN是平面A₁ABB₁内的一条直线，可考虑MC₁在平面A₁ABB₁内的射影．

证明1　设正方体的棱长为a，则MN＝，

C₁M＝，C₁N＝，

∵MN²+MC₁²＝NC₁²，∴C₁M⊥MN．

证明2　连结B₁M，∵C₁B₁⊥平面A₁ABB₁，

∴B₁M为C₁M在平面A₁ABB₁上的射影．

设棱长为a ，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，

又tan∠A₁B₁M＝，则∠AMN＝∠A₁B₁M，∴B₁M⊥MN，

由三垂线定理知，C₁M⊥MN．

400. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

399. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·