368. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱B₁C₁，A₁D₁，D₁D，AB的中点．

(1)求证：A₁E⊥平面ABMN．

(2)平面直线A₁E与MF所成的角．

解析：(1)要证A₁E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A₁E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A₁ADD₁，另一方面，AN与A₁E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．(2)为(1)的应用．

证明　(1)∵AB⊥平面A₁ADD₁，

而A₁E平面A₁ADD₁，

∴AB⊥A₁E．在平面A₁ADD₁中，A₁E⊥AN，　

∵AN∩AB＝A，∴A₁E⊥平面ABMN．

解　(2)由(1)知A₁E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A₁E⊥MF，

则A₁E与MF所成的角为90°

367. 已知P为ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD∥平面MAC．

解析：　因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．

证明　 连AC交BD于O，连MO，

则MO为△PBD的中位线，

∴PD∥MO，∵PD平面MAC，MO平面MAC，

∴PD∥平面MAC．

366. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，期棱长为a.

(1)求证BD⊥截面AB₁C；

(2)求点B到截面AB₁C的距离；

(3)求BB₁与截面AB₁C所成的角的余弦值。

同理BD₁⊥AB₁.∴BD₁⊥面ACB₁.

(2)AB=BC=BB₁G为△AB₁C的中心.AC=a

AG=a

∴BG==a

(3)∠BB₁G为所求

cos∠BB₁G=

365. 设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，

从而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC， ME⊥EF

设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.

不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.

设球O的半径为r，则r＝

设AD＝EF＝a,∵S_ΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1

当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.

∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米²)

363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.

解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r²+d²＝R²,即12²+(R-8)²＝R².

得R＝13　 ∴该球半径为13cm.

362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是　　　 .(只须写出一个可能的值)

解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.

排除{1，1，2}，可得{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.

由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.

对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且V_A-BCM=V_D-BCM，所以

V_ABCD=S_ΔBCM·AD.

CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而S_ΔBCM=×2×=，

故V_ABCD=××1=.

对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，

不妨令a=b=2，c=1，则

V=·

=·=.

361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?

解析：有5个暴露面.

如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.

这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面.

380. 如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值．

解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗．

解　作AO⊥平面BCD于O，连DO，作MN⊥平面BCD于N，则N∈OD．

设AD＝a，则OD＝，∴AO＝，∴MN＝．

又∵CM＝，∴CN＝．

∴CM与平面BCD所成角的余弦值为．

379. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为80，M为AC的中点．

(1)求证：PM⊥AC；

(2)求P到直线AC的距离；

(3)求PM与平面ABC所成角的正切值．

解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．

证明　(1)∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC

　　 解　(2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80，

∴PM＝，即P到直线AC的距离为82；

(3)∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心，

　　　 ∵∠C=90°　 ∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。

　　　 ∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影，

则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝