338.　 在棱长为a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O、O₁分别为两底中心，P为OO₁的中点，过P、B₁、C₁作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积.

解析： 如图，∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，AA₁∥OO₁，设过P、B₁、C₁的截面与AA₁的延长线交于Q，连结A₁O₁延长交B₁C₁于D，连QD，则P必在QD上，∵O₁为ΔA₁B₁C₁的中心，P为OO₁的中点，故＝＝，∴Q在A₁A延长线上且QA＝PO₁，又QB₁交AB于E，QC₁交AC于F，则EF∥B₁C₁，所以截面为EFB₁C₁是等腰梯形，又QA₁∶QA＝3∶1，∴EF＝　 设QD与EF交于H，得QD⊥B₁C₁.因此HD为梯形EFC₁B₁的高.DQ＝＝a,∴HD＝a.＝(a+)·(a)＝a²为所求截面积.

337.　 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱中每两条成60°角，求平行六面体积.

解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA₁的长分别是a,b,c,且两面所成角是60°，过A₁作A₁H⊥平面ABCD，H为垂足，连HA，则∠HAB＝30°，由课本题得：

cos∠A₁AB＝cos∠A₁AH·cos∠HAB,

∴cos∠A₁AH＝＝＝,sin∠A₁AH＝

∴V＝S_ABCD·A₁H＝absin60°·c·sin∠A₁AH＝abc.

336.　 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB＝AC＝10cm,BC＝12cm，顶点A₁与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.

解析：如图，作A₁O⊥平面ABC于O，∵A₁A＝A₁B＝A₁C，∴OA＝OB＝OC，∴O是ΔABC的外心，∵ΔABC等腰，∴AO⊥BC于D，∴AA₁⊥BC，∴B₁B⊥BC，四边形B₁BCC₁为矩形，∴S＝12·13＝156(cm²),ΔA₁AB底边上高A₁E＝＝12，＝＝120(cm²),S_ΔABC＝＝·12·8＝48(cm²),S_全＝156+2·120+2×48＝492(cm²)

335.　 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ.

求证：cos²α+cos²β+cos²γ＝1

解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.

证明：设对角线B₁D与长方体的棱AD、DC、D₁D所成的角分别为α、β、γ，连结AB₁、CB₁，D₁B₁，则ΔB₁DA、ΔB₁DC、ΔB₁DD₁都是直角三角形.

∵cosα＝,cosβ＝,cosγ＝

∴cos²α+cos²β+cos²γ＝＝1.

评析：这里运用了长方体对角线长定理.

334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：(　　 )

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直

B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直

C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直

D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.

说明　 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.

333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?

解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB＝a，MA∥NB，MA＝NB＝b,∠A＝∠B＝90°.

设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.

在平面MANB中，作TK∥AB，交MA于K，则AK＝ST.

设ST＝x，则x＝b-KM.又KT＝CT＝，∠KTC＝φ，有KC＝asin.

从而KM＝.

∴x＝b-.

332.　 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.

已知：α∩β＝a,α∩＝b, ∩α＝c.

求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.

证明：①如图一，设a∩b＝A，

∵α∩β＝a.

∴aα而A∈a.

∴A∈α.

又β∩＝b

∴b,而A∈b.

∴A∈.

则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.

从而a、b、c三线共点.

②如图二，若a∥b，显然c，b

∴　 a∥

而　 aα, α∩＝c.

∴　 a∥c

从而　 a∥b∥c

331.　 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是(　　 )

A.有且仅有一条直线与a、b都垂直

B.有一平面与a、b都垂直

C.过直线a有且仅有一平面与b平行

D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.

350. 如图9-46，二面角a -AB-b 的棱AB上有一点C，线段CDa ，CD=100，∠BCD=30°，点D到平面b 的距离为，则二面角a -AB-b 的度数是________．

解析：60°．作DH⊥b 于H，DE⊥AB于E，连结EH，则EH是DE在平面b 内的射影．由三垂线定理的逆定理，HE⊥AB，∴　∠DEH为二面角a -AB-b 的平面角．在Rt△DCE中，CD=100，∠BCD=30°，∴　DE=CDsin30°=50，在Rt△DEH中，，

∴　∠DEH=60°，即二面角a -AB-b 等于60°．

349. 立体图形A-BCD中，AB=BC=CD=DB=AC=AD，相邻两个面所成的二面角的平面角为q ，则(　)．

　A．　B． 　 C．　 D．

解析：A．任取一个二面角，如A-BC-D，取BC中点E，可证AE⊥BC，DE⊥BC，∴　

∠AED是二面角A-BC-D的平面角，设AB=1，则