328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.

已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交.

证明：假设bα或b∥α.

若bα，∵b∥a，∴a∥α.

这与a∩α＝A矛盾，∴bα不成立.

若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.

∵b∥α,∴b∥c,又a∥b　 ∴a∥c

∴a∥α这与a∩α＝A矛盾.∴b∥α不成立.

∴b与α相交.

327.　 如图，四边形EFGH为四面体A-BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH

证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，

∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.

∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB.

∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.

(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.

评析：由线线平行线面平行线线平行.

326.　 已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E＝C′F求证：EF∥平面AC.

解析： 如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.

证法1　 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN

∵BB′⊥平面AC　 ∴　 BB′⊥AB，BB′⊥BC

∴EM⊥AB，FN⊥BC

∴EM∥FN，∵AB′＝BC′，B′E＝C′F

∴AE＝BF又∠B′AB＝∠C′BC＝45°

∴RtΔAME≌RtΔBNF

∴EM＝FN

∴四边形MNFE是平行四边形

∴EF∥MN又MN平面AC

∴EF∥平面AC

证法2　 过E作EG∥AB交BB′于G，连GF

∴＝

∵B′E＝C′F，B′A＝C′B

∴＝　 ∴FG∥B′C′∥BC

又∵EG∩FG＝G,AB∩BC＝B

∴平面EFG∥平面AC

又EF平面EFG

∴EF∥平面AC

325.　 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD＝CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.

证　 在ΔADC中，因AE∶AD＝CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ＝平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).

324.　 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.

证明　 如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.

323.　 如图，在正四棱锥S-ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC＝1∶2，SQ∶SB＝2∶3，SR∶RD＝2∶1.求证：SA∥平面PQR.

解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.

证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.

∵＝＝

∴RQ∥BD

∴＝而＝

∴＝　 ∴PM∥ON

∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR

∴　 SA∥平面PQR.

评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.

三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

322.　 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.

已知：α∩β＝a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.

解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.

证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.

过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.

∴　 b∥c，显然cβ.∴　 b∥β.　

又　 bα，α∩β=a，∴　 b∥a.　

又　 l∥b.　

∴　 l∥a.

评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.

321. 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.

解析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.

证：连AN并延长交BE的延长线于P.

∵　 BE∥AF，∴　 ΔBNP∽ΔFNA.

∴　 ＝，则＝.

即　 ＝.

又　 ＝，＝，

∴　 ＝.

∴　 MN∥CP，CP平面CBE.

∴　 MN∥平面CBE.

340.　 如图，已知正三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面积等于cm²，D、E分别是侧棱B₁B，C₁C上的点，且有EC＝BC＝2DB，试求

(1)四棱锥A-BCDE的底面BCED的面积

(2)四棱锥A-BCED的体积

(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小

(4)截面ADE的面积

解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为α，观察到ΔADE在底面ABC的射影是ΔABC(∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC)应用S_ΔABC＝S_ΔADE·cosα，可求出α.

解：设ΔABC边长为x，∵S_ΔABC＝x²＝.∴x＝2，于是EC＝BC＝2，DB＝BC＝1，∴S_BCED＝ (2+1)·2＝3，作AF⊥BC于F

∴AF⊥平面BCED，V_A-BCED＝·AF·S_BCED，∴V_A-BCED＝··2·3＝

在RtΔABD中，AD²＝AB²+DB²＝2²+1²＝5；在Rt梯形BCED中，DE²＝(CE-DB)²+BC²＝5

∴AD＝DE＝，∴ΔADE是等腰三角形，作DQ⊥AE于Q，则Q为AE的中点

在RtΔACE中，AE²＝EC²+AC²＝8，DQ²＝AD²-AQ²＝()²-()²＝3

∴AE＝，DQ＝，S_ΔADE＝·AE·DQ＝

设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为α，D、E分别在底面的射影为B、C，∴ΔABC的面积＝ΔADE面积×cosα

即＝cosα,cosα＝,∴α＝45°

答　 (1)S_BCED＝3cm²,(2)V_A-BCED＝cm²,(3)截面ADE与底面ABC成45°的二面角，(4)S_ΔADE＝cm²

339.　 如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为a，D为CC₁的中点.

(1)求证：A₁B⊥平面AB₁D.

(2)求平面A₁BD与平面ABC所成二面角的度数.

解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.

解　 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等，

∴侧面ABB₁A₁是正方形.

∴A₁B⊥AB₁.连DE，

∵ΔBCD≌ΔA₁C₁D，

∴BD＝A₁D，而E为A₁B的中点，

A₁B⊥DE.∴A₁B⊥平面AB₁D.

(2)延长A₁D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A₁BD和平面ABC所成二面角的公共棱.

∵DC∥A₁A，且D为CC₁的中点，∴AC＝CS.

又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°.又AB是A₁B在底面上的射影，由三垂线定理得A₁B⊥BS.

∴∠A₁BA就是二面角A₁-BS-A的平面角.

∵∠A₁BA＝45°，

∴平面A₁BD和平面ABC所成的二面角为45°.

评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A₁BD和平面ABC的交线，在论证AB⊥BS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S_射＝S·cosθ来解θ.