318.　 (1)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的(　　 )

A.垂心　　 　B.重心 　　　C.外心 　　　D.内心

(2)设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的(　　 )

A.内心　 　　B.外心　 　　　C.垂心 　　　D.重心

解　 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D.

(2)如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.

∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.

∴OA＝OB＝OC

∴应选B.

说明　 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.

317.　 如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D₁，F₁分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，若BC＝CA＝CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是(　　 )

A.　　　　 B.　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

解　 连D₁F₁，则D₁F₁⊥A₁C₁，又BC⊥CA，所以BD₁在平面ACC₁A₁内的射影为CF₁，设AC＝2a，则BC＝CC₁＝2a.取BC的中点E，连EF₁，则EF∥BD₁.

∴cosθ₁＝cos∠EF₁C＝＝＝，

cosθ₂＝cos∠AF₁C＝＝，

∴　 cosθ＝cosθ₁·cosθ₂＝·＝，应选A.

316.　 如图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁，面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是 　　　　(要求：把可能的图的序号都填上)

解　 ∵四边形BFD₁E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为②.故应填②③.

315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.

已知：∠ABCα,Pα,∠PBA＝∠PBC,PQ⊥α，Q∈α，如图.

求证：∠QBA＝∠QBC

证：PR⊥AB于R，PS⊥BC于S.

则：∠PRB＝∠PSB＝90°.

∵PB＝PB.∠PBR＝∠PBS

∴RtΔPRB≌RtΔPSB

∴PR＝PS

∵点Q是点P在平面α上的射影.

∴QR＝QS

又∵QR⊥AB，QS⊥BC

∴∠ABQ＝∠CBQ

314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.

已知：a∥b，a∩α＝A₁,b∩β＝B₁，∠θ₁、∠θ₂分别是a、b与α所成的角.如图，求证：∠θ₁＝∠θ₂.

证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA₁＝BB₁，连结AB和A₁B₁.

∵AA₁∥BB₁

∴四边形AA₁B₁B是平行四边形.∴AB∥A₁B₁

又A₁B₁α　 ∴AB∥α.

设AA₂⊥α于A₂，BB₂⊥α于B₂，则AA₂＝BB₂

在RtΔAA₁A₂与中　 AA₂＝BB₂，AA₁＝BB₁

∴RtΔAA₁A₂≌RtΔBB₁B₂

∴∠AA₁A₂＝∠BB₁B₂

即　 ∠θ₁＝∠θ₂.

313..已知：α∩β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，求证：CD⊥AB.

312.　 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求A₁C₁和平面AB₁C间的距离.

解法1　 如图所示，A₁C₁∥平面AB₁C，又平面BB₁DD₁⊥平面AB₁C.

故若过O₁作O₁E⊥OB₁于E，则OE₁⊥平面AB₁C，O₁E为所求的距离

由O₁E·OB₁＝O₁B₁·OO₁，

可得：O₁E＝

解法2：转化为求C₁到平面AB₁C的距离，也就是求三棱锥C₁-AB₁C的高h.

由　 V＝V，可得h＝a.

解法3　 因平面AB₁C∥平面C₁DA₁，它们间的距离即为所求，连BD₁，分别交B₁O、DO₁与F、G(图中未画出)。易证BD₁垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得

FG＝.

点评　 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

311.　 如图，在棱长为a的正方体AC₁中，M是CC₁的中点，点E在AD上，且AE＝AD，F在AB上，且AF＝AB，求点B到平面MEF的距离.

解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF∥BD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC⊥面MEF，而MR是交线，所以作OH⊥MR，即OH⊥面MEF，OH即为所求.

∵OH·MR＝OR·MC，

∴OH＝.

解法二：考察三棱锥B-MEF，由V_B-MEF＝V_M-BEF可得h.

点评　 求点面的距离一般有三种方法：

①利用垂直面；

②转化为线面距离再用垂直面；

③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.

330.　 在下列命题中，真命题是(　　 )

A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;

B.设α-l-β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β；

C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行；

D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.

解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.

329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.

已知：a∥b,aα，bβ，α∩β＝c.

求证：c∥a∥b