588. 在四面体ABCD中，已知点M，N，P分别在棱AD，BD，CD上，点S在平面ABC内，画出线段SD与过点M，N，P的截面的交点O。

解析：图中，SD与平面MNP的交点O点画在△MNP内的任何位置好象都“象”，即直观上不能直接看出画在何处才是准确的。采用上一题的思想方法，找出经过直线SD的平面，如平面ASD(平面CSD…)，作出它与平面MNP的交线。

解：连接AS交BC于E，连ED交NP于F，连MF。

∵M∈AD，AD平面AED，

∴M∈平面AED

∵F∈ED，ED平面AED，

∴F∈平面AED

又M∈平面MNP，F∈平面MNP，

∴平面AED∩平面MNP=MF

∵O∈SD，SD平面AED，

∴O∈平面AED，又O∈平面MNP

则O∈MF

即O为MF与SD的交点。

587. 四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，则∠BAC+∠CAD+∠DAB=　　　　　 。

解析：180°

四个三角形均是全等的三角形，故所求三个角即其中任一三角形的三个内角

586. 正方体的12条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有　　　 对。

解析：30

面对角线中，与AC相交的有5条，平行的有1条，(自身为1条)故与AC异面的直线有12-5-1-1=5(条)。

则共有12×5×=30(对

585. 空间两个角α和β，若α和β的两边对应平行，当α=50°时，β=　　　　　　 。

解析：50°或130°

β与α相等或互补

584. 下面的三个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形。

其中正确命题的个数是：(　　 )

　 A、1个　　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　 D、0个

解析：D

均不能保证它们是平面图形，故均不正确，选D

583. 如图，α∩β=C，aα，a∩c=A，bβ，b∩c=B，A、B为不同点。则a与b的位置关系为(　　 )

　 A、平行

　 B、异面

　 C、平行、异面均可能

　 D、平行、相交、异面均可能

解析：B

符合两条异面直线的判定，选B

582. 如图，在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁D₁，A₁B的中点，求证：EF∥AD₁。

解析：要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到与它们都平行的“公共”直线。

这里E为D₁B₁的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB₁是非常重要的步骤。

证明：连AB₁，则AB₁过A_­1B的中点F。

　　 又E为D₁B₁的中点，

　　 ∴EF为△AD₁B₁的中位线，

　　 则EF∥AD₁

581. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点。(1)如图(甲)中，F、G分别是BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图(乙)中，若F是BC上的点，G是DC上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形，并且直线EF、GH、AC共点。

证明：(1)如图(甲)，连结BD。

　　　 ∵EH是的△ABD中位线，

　　　 ∴EHBD，同理FGBD

　　　 根据公理4，EHFG

　　　 ∴四边形EFGH是平行四边形。

(2)如图(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中，

　　 ∴FG∥BD，FG=BD

　　 由公理4，∴EH∥FG，又FG>EH。

　　 ∴四边形EFGH是梯形。

　　 则直线EF、GH相交，设EF∩GH=P

　　 则P∈EF，又EF平面ABC

　　 ∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC。

　　 又平面ABC∩平面ADC=AC

　　 由公理2，得P∈AC，

　　 即EF、GH、AC三条直线共点。

点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EH∥FG是关键

600. 要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池，在四壁与底面面积之和一定的前提下，为使水池容积最大，求水池底面边长与高的比值.

解析：为了建立体积V的函数，我们选底面边长和高为自变量.

设水池底面边长为a，水池的高为h，水池容积为v，依题意，有a²+4ah＝k(k为定值).

∴v＝a²h＝a²＝(v＞0),

∴v²＝a²(k-a²)²＝·2a²(k-a²)(k-a²)

≤()³＝·＝(当且仅当2a²＝k-a²时，即k＝3a²时等号成立)，

故　 a²+4ah＝3a²,

即a∶h＝2∶1时，水池容积最大为.

599. 某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b、c的地方(单位：米).为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液油最理想的估计能剩多少?

解析：如图所示，建立模型，设直三棱柱为ABC-A′B′C′，破损处为D、E.并且AD＝b,EC＝c,BB′＝a.则罐内所剩液油的最大值即为几何体ABC-DB′E的体积.

连结BD、CD

∵＝，

而＝,＝V,

∴＝.

又∵＝，∴V_D-ABC＝·＝.

故 ＝+V_D-ABC＝，即最理想的估计是剩下升.