548.　 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是(　　 )

A.α、β都垂直于平面

B.α内不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内的直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β

解析：显然B、C不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A、D，学了“面面垂直”后，就可以说明A不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.

事实上，l∥α，m∥α，在α内任取一点A，过A作l′∥l，m′∥m,因为l,m异面，所以l′,m′相交，则可推出l′∥β，m′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.

547.　 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是(　　 )

A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线b

B.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b

C.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面

D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面

解析：A、C、D均为真命题，B为假命题；∵若过a的平面α⊥b,则b垂直α内的直线a，从而a⊥b，那么限制a,b必须垂直，而条件中没有指明a、b是否垂直.

546.　 设直线a在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a∥平面β”的(　　 )条件

A.充分但不必要　　　　　 　　　　 B.必要但不充分

C.充分且必要　　　　　　　　　　 D.不充分也不必要

解析：若α∥β，∵aα，∴a与β无公共点，∴a∥β.

若a∥β，aα，则α，β的关系不能确定，所以应选A.

545.如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、所截.

求证：＝

证：(i)当AC，DF共面S时，

连AD，BE，CF

则AD∥BE∥CF

从而＝

(ii)当AC、DE异面时，连CD设CD∩β＝G

连AD、BG、GE、CF，如图

∵α∥β，平面ACD∩β＝BG，平面ACD∩α＝AD.

∴BG∥AD

∴＝

同理可证：EG∥CF，∴＝

∴＝

综合(i)(ii)知：＝.

544.a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.

已知：a,b是异面直线，aα，bβ,a∥β,b∥α.

求证：α∥β.

证：过b作平面与平面α交于b′

543.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.

已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.

求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.

解析：(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.

即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.

(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.

连结AB和A′B′.

∵a∥β，a′⊥α.

∴α′⊥β

由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.

∴∠PAB＝∠PA′B′

即　 a和α所成的角等于a和β所成的角.

542.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.

已知：Aα，A∈β，β∥α

求证：β是唯一的.

证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.

又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平面一定和l垂直.

∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.

∴过点A和α平行的平面是唯一的.

541.　 如图，已知直线a∥平面α；求证：过a有且只有一个平面平行于α.

证明　 (1)存在性：设过a的平面与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.

(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.

560. 在ΔABC中，M、N分别是AB、AC上的点，＝＝.沿MN把ΔAMN到ΔA′MN的位置，二面角A′-MN-B为60°，求证：平面A′MN⊥平面A′BC.

解析：作AD⊥BC于D，设AD∩MN＝P，∠A′PD＝60°，可证A′P⊥平面A′BC.

559．　 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求A₁C₁和平面AB₁C间的距离.

解法1　 如图所示，A₁C₁∥平面AB₁C，又平面BB₁DD₁⊥平面AB₁C.

故若过O₁作O₁E⊥OB₁于E，则OE₁⊥平面AB₁C，O₁E为所求的距离

由O₁E·OB₁＝O₁B₁·OO₁，

可得：O₁E＝

解法2：转化为求C₁到平面AB₁C的距离，也就是求三棱锥C₁-AB₁C的高h.

由　 V＝V，可得h＝a.

解法3　 因平面AB₁C∥平面C₁DA₁，它们间的距离即为所求，连BD₁，分别交B₁O、DO₁与F、G(图中未画出)。易证BD₁垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得

FG＝.

点评　 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.