528.　 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.

(2)求点E到平面PBC的距离.

(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG

∵OE⊥AC，BD⊥AC

∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)

∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE＝PC＝a,OB＝a

∴EB＝a.

∴OG＝＝a　 又AO＝a.

∴tan∠AGO＝＝

∴∠AGO＝arctan.

评析　 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

说明　 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题

527.　 在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)

(1)求点C′到平面AB′C的距离；

(2)求二面角B－B′C-A的余弦值.

解析：(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.

即C′到平面AB′C的距离为；

(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

说明 　利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.

526.　 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，

∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，

所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，

∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中

tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.

∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

以下解法同解法一.

525.　 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.

在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，

∴∠AOC＝90°.

即二面角A-BD-C为直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.

即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.

∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

评析　 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.

524.　 在三棱锥S-ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.

证明　 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO＝BO＝a.

在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.

又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC

说明　 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.

523. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.

证明　 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.

设相交直线a′、b确定一个平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α

522. 已知正四棱锥的各条棱都是a.

(1)求底面一边到相对侧面的距离；

(2)求证：相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的2倍；

(3)求相对两侧面所成二面角的余弦值.

(1)解：　 作PO⊥底面ABCD，垂足是O，取BC、AD、PB的中点F、E、M，连结PE、PF、EF、OM、MC、MA.

∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，AD到平面PBC的距离就是E点到平面PBC的距离，∵BC⊥平面PEF，∴平面PEF⊥平面PBC.∴E点到交线PF的距离就是E点到平面PBC的距离d.

∴d·PF＝PO·EF,d·a＝a·,∴d＝a.

(2)在ΔACM中，∵AM＝MC＝a,AD＝OC,∴OM是∠AMC的平分线，又AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角.

又∵AO＝PO＝a,AM＝PF＝a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO.

∴∠AMC＝2∠PFO，∴命题成立.

(3)设相对两侧面PBC、PAD的交线是l，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴AD∥l，∵BC⊥平面PEF，∴l⊥平面PEF，∴∠EPF就是所求二面角的平面角.

∴cos∠EPF＝＝.

521. 　已知边长为10的正ΔABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α同侧，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离分别是BB₁＝2，CC₁＝4

(1)求证：BB₁∥平面ACC₁

(2)求证：BD⊥平面ACC₁

(3)求四棱锥A-BCC₁B₁的体积

解析： 本小题考查空间图形线、面的平行、垂直关系，考查逻辑思维能力和运算能力.

解　 (1)∵BB₁⊥α，CC₁⊥α，∴BB₁∥CC₁

∵BB₁平面ACC₁，CC₁平面ACC₁，

∴BB₁∥平面ACC₁.

(2)∵

过D点作AC₁的垂线DD₁，则DD₁⊥α.

∵DD₁＝CC₁＝×4＝2＝BB₁，

∴四边形B₁BDD₁是矩形

∴B₁D₁∥BD

∵BD⊥平面ACC₁

(3)在RtΔABD中，BD＝＝＝B₁D₁

在RtΔACC₁中，AC₁＝＝，连结BC₁，

则＝+＝××AC₁×B₁D₁×BB₁+××AC₁×CC₁×BD.

∴＝××××2+××××4＝30.

540. 如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求证：(1)平面AB₁D₁∥平面C₁BD；(2)对角线A₁C被平面AB₁D₁和平面C₁BD三等分.

解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB₁D₁∥平面C₁BD的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.

证：(1)连AC，∵BD⊥AC，AC是A₁C在底面上的射影，由三条垂线定理得A₁C⊥BD，同理可证A₁C⊥BC₁.

∴A₁C⊥平面C₁BD，同理也能证得A₁C⊥平面AB₁D₁.

∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD.

(2)设A₁到平面AB₁D₁的距离为h，正方体的棱长为a，则有：h·(a)²＝a· a².

∴h＝a.同理C到平面C₁BD的距离也为a，而A₁C＝a.故A₁C被两平行平面三等分.

评析：论证A₁C被两平行平面三等分，关键是求A₁到平面AB₁D₁的距离，C到平面C₁BD的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A₁ACC₁中去考虑：

连A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，AC∩BD＝0，如图连AO₁，C₁O，AC₁，设AC₁∩A₁C＝K.A₁C∩AO₁＝M，C₁O∩A₁C＝N.可证M为ΔA₁AC₁的重心，N为ΔACC₁的重心，则可推知MN＝NC＝A₁M.

另外值得说明的是：A₁C是面AB₁D₁和面BC₁D的公垂线.

异面直线AD₁和C₁D的距离也等于MN.

539.　 如图，在三棱锥S-ABC中，A₁、B₁、C₁分别是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，(1)求证：平面A₁B₁C₁∥平面ABC；(2)求三棱锥S-A₁B₁C₁与S-ABC体积之比.

解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.

证：(1)：∵　 A₁、B₁、C₁是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，连SA₁、SC₁并延长交BC、AB于N、M，则N、M必是BC和AB的中点.连MN

∵＝＝，

∴A₁C₁∥MN.

∵MN平面ABC，

∴A₁C₁∥平面ABC.

同理可证　 A₁B₁∥平面ABC.

∴　 平面A₁B₁C₁∥平面ABC.

(2)由(1)＝，MN∥AC，

∴A₁C₁∥AC.

同理可证：A₁B₁∥AB，

B₁C₁∥BC.

∴　 ΔA₁B₁C₁≌ΔABC，

S＝S_ΔABC.

设三棱锥S-ABC的高为h，S-A₁B₁C₁的高为h₁则有：＝＝,∴h₁＝h.

∴＝＝.

评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.