508.　 三棱锥A-BCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、，则cosα+cosβ+cos=　　 　　.

解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c

由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.

记为S，侧面在底面的射影分别为S₁、S₂、S₃

则=cosα, =cosβ, =cos

cosα+cosβ+cos===1

507. 下列命题中是真命题的是(　　 )

A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥

C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥

D.正四面体是正三棱锥

解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A、B不正确，C中的各三角形没有指明共顶点，C也不正确，D是真命题，所以选D.

506. 在空间中，

　①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．

　②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

　以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．

　(把符合要求的命题序号都填上)

解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．

　②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题．

505. 如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD-中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．

图9－19

　(1)求异面直线与所成角的大小；

　(2)求异面直线EF与所成角的大小；

　(3)求异面直线EF与所成角的正切值；

　(4)求异面直线EF与的距离．

解析：(1)∵　 ∥AC，∴　 与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△，∵　 ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵　 O是底边AC的中点，∴　 ，故与所成的角是90°．

　(2)∵　 E、F分别是AB、AD中点，∴　 EF∥BD，又∵　 ∥AC，∴　 AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵　 四边形ABCD是正方形，∴　 AC⊥BD，∴　 EF与所成的角为90°

　(3)∵　 EF∥BD，∴　 为异面直线EF与所成的角．∵　 四边形是正方形，∴　 ，∴　 在Rt△中，，＝＝，∴　 ，即EF与所成角的正切值为．

　(4)∵　 EF∥BD，BD⊥AC，∴　 EF⊥AC，设交点为G．∵　 ⊥AC(由(1)

知)于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴　 ，即EF与间的距离为．

504. 如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．

　(1)求证：EF与PC是异面直线；

　(2)EF与PC所成的角；

　(3)线段EF的长．

解析：(1)用反证法．假设EF与PC共面于a，则直线PE、CF共面a，则A∈a，B∈a，于是P与A、B、C共面于a，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线．

　(2)取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC ∴　 ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵　 PC⊥AB，∴　 EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵　 PC＝AB＝2，∴　 EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴　 ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°．

　(3)由(2)知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴　 EF＝

503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：

　(1)在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?

图9－17

　(2)在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?

　(3)在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?

解析：(1)在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．

　(2)在一个平面内，过一点(该点可在直线上，也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直)．

　(3)在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．

502. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．

　(1)四边形EFGH是______________；

　(2)当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；

　(3)当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；

　(4)当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．

解析：(1)由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；

　(2)当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；

　(3)要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；

　(4)要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥ BD，且AC＝BD；

501. 在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点．

　(1)证明∥；

　(2)求异面直线MN与所成角的余弦值．

解析：(1)∵　 ∥∥，＝＝，∴　 是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．

　(2)由(1)，是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有．

520.　 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁

(1)求证：BE＝EB₁

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数

解析： 欲证BE＝EB₁，可证A₁E＝EC，由截面A₁EC⊥侧面AC₁，考虑到作EG⊥A₁C于G，关键在于证出G是A₁C的中点，为了利用正棱柱的性质，可取AC中点F，证FG∥AA₁即可.

证明：　 (1)在截面A₁EC中，作EG⊥A₁C于G，∵面A₁EC⊥面A₁C，∴EG⊥面A₁C，取AC中点F，连BF、FG，易证EBFG为平行四边形，∴BE＝FG，又证得FG＝AA₁，∴BE＝AA₁＝BB₁，即BE＝EB₁.

(2)分别延长CE、C₁B₁交于点D，连A₁D，利用E是BB₁的中点，可证得A₁C₁⊥A₁D，由三垂线定理，可证出A₁C⊥A₁D，

∴∠CA₁C₁为所求二面角的平面角，由A₁A＝A₁C，得∠CA₁C₁＝45°.

评析　 本题解题思路：由证E是BB₁的中点证G是A₁C的中点GF∥AA₁，要完成此过程，除具有扎实的立几基本功外，尚需很好的平几修养，确实是一个考查基础知识很全面的好题.

519.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别为6m²,4m²和3m²，求它的体积.

解析：设三棱锥S-ABC的三条侧棱长分别为xm,ym,zm.则三个侧面积分别为、、.

依题意： 则　 xyz＝24

而　 V_S-ABC＝V_A-SBC＝·yz·x＝×24＝4(m³)

∴它的体积为4m³.