468. ．如图9-53，是长方体，AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．

解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或

467. 平面a ⊥平面g ，平面b ⊥平面g ，且a ∩g =a，b ∩g =b，a∥b，平面a 与b 的位置关系是________．

解析：平行．在g 上作l⊥a，∵　a∥b，∴　l⊥b．∵　a ⊥g 于a，∴　l⊥a ，同理l⊥b ．∴　a ∥b ．

466. 已知二面角a -l-b 的大小为q (q 是锐角)，A∈l，B∈l，，且P∈a ，P在b 内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．

解析：Scosq ．作PH⊥l于H，连结．∵　 ，∴　(三垂线定理的逆定理)．∴　为二面角a -l-b 的平面角，即．，，∴　

图答9-46

465. 如图9-52，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角A-BD-C的平面角是(　)．

　A．钝角　　　　　　B．直角

　C．锐角　　　　　　D．大小不确定的

解析：A．取BD中点E，连结AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴　DC=BC，∴　AE⊥BD，CE ⊥ BD，∴　∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．∵　，，，∴　

，∵　∠AEC为钝角

464. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段与这两个平面所成的角的和(　)．

　A．等于90°　　　　　B．大于90°

　C．不大于90°　　　　　D．不小于90°

解析：C．如图答9-45，设直二面角a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵　a ⊥b ，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结BC、AD，则∠ABC为AB与平面b 所成的角，∠BAD为AB与平面a 所成的角．

　当AB⊥l时，易得AB与a 、b 所成角之和等于90°，当AB与l不垂直时，设，，，，　　 ，∵　BC＞BD，∴　，∵　函数y=sinx在上是增函数，∴　，∵　，∴　，∴　．故AB与a 、b 所成角之和≤90°．

463. 设直线l、m，平面a 、b 、g 满足b ∩g =l，l∥a ，ma ，且m⊥g ，则必有(　)．

　A．a ⊥g ，且l⊥m　　　　 B．a ⊥g ，且m∥b

　C．m∥b ，且l⊥m　　　　 D．a ∥b ，且a ⊥g

解析：A．

462. 如图9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．记∠FCE=q ，∠CFB=a ，∠CEB=b ，则有(　)．

　A．sinb =sina ·sinq　　　　B．cosa =cosb ·cosq

　C．sina =sinb ·cosq　　　　D．sinb =sina ·cosq

解析：C．

于是sina =sinb ·cosq ．

461. 如图，设ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，E、F分别为AB、A₁B₁的中点，且AB＝2AA₁＝2a,AC＝BC＝a.

(1)求证：AF⊥A₁C

(2)求二面角C-AF-B的大小

分析　 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.

解　 (1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB

又∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，∴CE⊥面AA₁BB

连结EF，由于AB＝2AA₁

∴AA₁FE为正方形

∴AF⊥A₁E，从而AF⊥A₁C

(2)设AF与A₁E交于O，连结CO，由于AF⊥A₁E，知AF⊥面CEA₁

∴∠COE即为二面角C-AF-B的平面角

∵AB＝2AA₁＝2a,AC＝BC＝a

∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.

∴二面角C-AF-B的大小是arctan2.

480. 设a、b是异面直线，则(　)．

　A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行

　B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交

　C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行

　D．过a有且只有一个平面与b平行

解析：D．借助正方体这一模型加以排除错误选项．取AB为a，为b，当任一点取时，AB∥平面，但平面．于是A不正确．而与上任一点的连线均在平面内，所以这些直线与AB均无交点，所以B不正确．用反证法说明C不正确，若过任一点有直线与a、b都平行，则由公理4知a∥b，这与a、b异面矛盾．

479. 如图9－21，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别是BC、CD的中点，则(　)．

　A．BD∥平面EFGH，且EFGH是矩形

　B．HG∥平面ABD，且EFGH是菱形

　C．HE∥平面ADC，且EFGH是梯形

　D．EF∥平面BCD，且EFGH是梯形

解析：D．A选项中“BD∥平面EFGH”正确，但“EFGH是矩形”错误；B选项中“EFGH是菱形”不正确；C选项中“HE∥平面ADC”不正确．