5、(2009东莞一模)如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为.

　 (1)求证：D₁E⊥A₁D；　

(2)求AB的长度；

　 (3)在线段AB上是否存在点E，使得二面角

。若存在，确定

点E的位置；若不存在，请说明理由.

_{解一：(1)证明：连结AD1，由长方体的性质可知：}

_{AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在}

_{平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，}

_∴AD1⊥A1D

_{∴D1E⊥A1D1(三垂线定理)　　　　 4分}

_{(2)设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，}

_{∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到}

_{点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为}

_{如图乙的最短路程为}

_{………………9分}

_{(3)假设存在，平面DEC的法向量，}

_{设平面D1EC的法向量，则}

…………………12分

_{由题意得：}

_{解得：(舍去)}

………14分

2009年联考题

4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．

(Ⅰ)求四棱锥的体积；

(Ⅱ)求异面直线OB与MD所成角的大小．

解：(Ⅰ)由已知可求得，正方形的面积，……………………………2分

所以，求棱锥的体积 ………………………………………4分

(Ⅱ)方法一(综合法)

设线段的中点为，连接，

则为异面直线OC与所成的角(或其补角) ………………………………..1分

　　　 由已知，可得，

为直角三角形　　　 …………………………………………………………….2分

， …………………………………………………………….4分

．

所以，异面直线OC与MD所成角的大小．　 …………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，

则, ………………………………………………2分

，， …………………………………………………………………………..2分

　设异面直线OC与MD所成角为，

．……………………………………3分

　OC与MD所成角的大小为．……………………………………………1分

3.(2009冠龙高级中学3月月考)在棱长为2的正方体中，(如图)

是棱的中点，是侧面的中心．

(1)　　　 求三棱锥的体积；

求与底面所成的角的大小．(结果用反三角函数表示)

(1)．　　

(2)取的中点，所求的角的大小等于的大小，

中，所以与底面所成的角的大小是．

2.(2009上海奉贤区模拟考)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B₁C₁与AC所成角的大小；

(2)若直线A₁C与平面ABC所成角为45°,

求三棱锥A₁-ABC的体积.

(1)因为，所以∠BCA(或其补角)即为异面直线与所成角　　　　 -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以，　 　　-------(2分)

即异面直线与所成角大小为。　　　 -------(1分)

(2)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，所以即为直线A₁C与平面ABC所成角，所以。　　 　　　　-------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到，　 ------(2分)

所以　 　　　　　　-------(2分)

1.(2009上海普陀区)已知复数，(是虚数单位)，且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

解：如图，设中点为，联结、.

由题意，,,所以为等边三角形，

故，且.

又，

所以.

而圆锥体的底面圆面积为,

所以圆锥体体积.

2.(2009上海青浦区)如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm²，已知

球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是　 　　　 cm³.

答案

1.(2009上海八校联考)已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为________________。

答案

9.(2009番禺一模)一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为(　　 )．

　　 A．12　 　　　　 　B． 　　　

　 C．　 　 　　　　D．6

答案 C

8.(2009枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为　　 (　　 )

　 　　　 A．　　　　　　　　　　 B．_{[来源:高&考%资(源#网]}

　　　 C．　　　　　　　　　 D．以上都不对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案C

7.(2009泰安一模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

　　 体积等于

　　 (A) 4　　 (B) 6

　　 (C) 8　　 (D)12

答案A