54、(2009盐城中学第七次月考)若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长．

　解 由得，　　　　　　　　　

又

，　　　　　　　　　　　　　　　　

由得, 　　　　

．　　　　　　　　

53、(2009通州第四次调研)求经过极点三点的圆的极坐标方程.

解 将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，

故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，

圆的直角坐标方程为，即，

将代入上述方程，得，

即.　　

52、(2009扬州大学附中3月月考)设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐

标伸长到倍的伸压变换．(Ⅰ)求矩阵的特征值及相应的特征向量；

(Ⅱ)求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程． 　

解(Ⅰ)由条件得矩阵，

它的特征值为和，对应的特征向量为及；

(Ⅱ)，椭圆在的作用下的新曲线的方程为．

51、(2009通州第四次调研)(不等式选讲)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a+b|+|a－b|≥|a|(|x－1|+|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围．

解 由题知，恒成立，故|x－1|+|x－2|不大于的最小值

∵当且仅当(a+b)(a－b) ≥0时取等号

∴的最小值等于2.　　　　　　　　　　　　　 　　　　　5分

∴x的范围即为不等式|x－1|+|x－2|≤2的解

解不等式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

50、(2009通州第四次调研)(矩阵与变换)已知矩阵 ，向量.

(1)求矩阵的特征值、和特征向量、；

　(2)求的值.

解 (1)矩阵的特征多项式为　 ，

令，得,

当时，得,当时，得.　　　 …………………5分

(2)由得，得.

∴

　　 .……………………10分

49、(2009南京一模)选修4-5：不等式选讲，已知为正数，求证：.

证明：，所以　

48、(2009金陵中学三模)(1)设是正数，求证：；

(2)若，不等式是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．

简证：(1)∵，∴， ，，三个

同向正值不等式相乘得． ---------5分

简解：(2)时原不等式仍然成立．

思路1：分类讨论、、、证；

思路2：左边=．---------------10分

47、(2009南京一模)已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程

解 由题设得,设是直线上任意一点,

点在矩阵对应的变换作用下变为,

则有, 即 ,所以

因为点在直线上,从而,即：

所以曲线的方程为　

46、(2009厦门英才学校)(极坐标与参数方程)求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值．

解 由 即则易得，由易得　　 圆心到直线的距离为

　　　　 又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为.

45、(2009厦门十中)(极坐标与参数方程)已知圆C的参数方程为 ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．

解 由题设知,圆心

∠CPO=60°,故过P点的切线飞倾斜角为30°　　

设,是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，

∠MOP=

由正弦定理得

，即为所求切线的极坐标方程。