8．(2009年高考湖南卷)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x²+y²＝a²的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．

解析：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，

∴∠AOF＝60°，又OA＝a，

OF＝c，∴＝＝cos 60°＝，∴＝2.

答案：2

7．已知圆C：x²+y²－6x－4y+8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．

答案：－＝1

6．过双曲线M：x²－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是(　)

A.　 　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　D.

解析：选A.据题意可设l_AB：y＝x+1，l_OC：y＝bx，l_OB：y＝－bx，由解得C点纵坐标为，B点纵坐标为，因为|AB|＝|BC|，所以＝2 ，解得b＝3，所以e＝＝.

5．已知双曲线的两个焦点分别为F₁(－，0)，F₂(，0)，P是双曲线上的一点，且PF₁⊥PF₂，|PF₁||PF₂|＝2，则双曲线方程是(　)

A.－＝1 　　　　　　　B.－＝1

C.－y²＝1 　　　　　　　D．x²－＝1

解析：选C.∵PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²＝|F₁F₂|²，即(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁||PF₂|＝|F₁F₂|²，

又||PF₁|－|PF₂||＝2a，|F₁F₂|＝2c＝2，|PF₁|·|PF₂|＝2，

∴(2a)²+2×2＝(2)²，解得a²＝4，

又c²＝5，∴b²＝1，∴双曲线方程为－y²＝1.

4.(2008年高考山东卷)设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为(　)

A.－＝1　 　　　　　　B.－＝1

C.－＝1　 　　　　　　D.－＝1

解析：选A.在椭圆C₁中，由，得

椭圆C₁的焦点为F₁(－5,0)，F₂(5,0)，

曲线C₂是以F₁、F₂为焦点，实轴长为8的双曲线，

故C₂的标准方程为：－＝1，故选A.

3．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点．若|PF₁|＝3，则|PF₂|等于(　)

A．1或5　 　　　　　　B．6

C．7　 　　　　　　　　D．9

解析：选C.由渐近线方程y＝x，且a＝2，得b＝3.

∵|PF₁|＝3＜2a＝4，∴P点在双曲线左支上．

据定义有|PF₂|－|PF₁|＝4，

∴|PF₂|＝7.

2．(2009年高考江西卷)设F₁和F₂为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F₁、F₂、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　)

A.　 　　　　　　　　B．2

C.　 　　　　　　　　D．3

解析：选B.由＝，令b＝，得c＝2，∴a＝1，∴e＝＝2.

1．(2009年高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)²+y²＝r²(r＞0)相切，则r＝(　)

A. 　　　　　　　　　B．2

C．3　 　　　　　　　　D．6

解析：选A.∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，

则圆心(3,0)到y+x＝0的距离为r，

∴r＝＝.故选A.

6．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x²+y²＝100上，求双曲线方程．

解：(1)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由渐近线方程y＝±x得＝.①

又焦点在圆x²+y²＝100上，知c＝10，即a²+b²＝100.②

由①②解得a＝6，b＝8.

∴所求双曲线方程为－＝1.

(2)当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则⇒

∴所求双曲线方程为－＝1.

综上，所求双曲线方程为－＝1或－＝1.

练习

5．(2008年高考山东卷)已知圆C：x²+y²－6x－4y+8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．

解析：令y＝0得x＝2或x＝4，符合条件的双曲线a＝2，c＝4，

∴b²＝c²－a²＝16－4＝12且焦点在x轴上．

∴双曲线方程为：－＝1.

答案：－＝1