3．用数学归纳法证明：“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　)

A．1　 B．1+a

C．1+a+a²　 D．1+a+a²+a³

解析：选C.当n＝1时，左端＝1+a+a².

2．用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n－1)＝n²(n∈N^*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k+1时应得到(　)

A．1+3+5+…+(2k+1)＝k²

B．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+1)²

C．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+2)²

D．1+3+5+…+(2k+1)＝(k+3)²

解析：选B.∵n＝k+1时，

等式左边＝1+3+5+…+(2k－1)+(2k+1)

＝k²+(2k+1)＝(k+1)².故选B.

1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成(　)

A．假设n＝2k+1(k∈N^*)正确，再推n＝2k+3正确

B．假设n＝2k－1(k∈N^*)正确，再推n＝2k+1正确

C．假设n＝k(k∈N^*)正确，再推n＝k+1正确

D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k+2正确

解析：选B.首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B.

6．数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

解：(1)a₁＝1，a₂＝，a₃＝，a₄＝，

由此猜想a_n＝(n∈N^*)．

(2)证明：当n＝1时，a₁＝1，结论成立．

假设n＝k(k≥1，且k∈N^*)时，结论成立，

即a_k＝，

那么n＝k+1(k≥1，且k∈N^*)时，

a_k+1＝S_k+1－S_k＝2(k+1)－a_k+1－2k+a_k

＝2+a_k－a_k+1.

∴2a_k+1＝2+a_k，

∴a_k+1＝＝＝，

这表明n＝k+1时，结论成立．

∴a_n＝(n∈N^*)．

练习

5．用数学归纳法证明1+2+3+…+n²＝时，当n＝k+1时左端在n＝k时的左端加上________．

解析：n＝k时左端为1+2+3+…+k²，n＝k+1时左端为1+2+3+…+k²+(k²+1)+(k²+2)+…+(k+1)².

答案：(k²+1)+(k²+2)+…+(k+1)²

4．用数学归纳法证明当n∈N^*时1+2+2²+2³+…+2^5n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k+1时需增添的项是____________．

解析：把n＝k，n＝k+1相比较即可得出．

答案：1+2+22+23+24　25k+25k+1+25k+2+2^5k+3+25k+4

3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k+1)与f(k)的关系是(　)

A．f(k+1)＝f(k)+k+1

B．f(k+1)＝f(k)+k－1

C．f(k+1)＝f(k)+k

D．f(k+1)＝f(k)+k+2

解析：选C.当n＝k+1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)+k＝f(k+1)．

2．在数列{a_n}中，a_n＝1－+－+…+－，则a_k+1＝(　)

A．a_k+

B．a_k+－

C．a_k+

D．a_k+－

解析：选D.a₁＝1－，a₂＝1－+－，…，a_n＝1－+－+…+－，a_k＝1－+－+…+－，所以，a_k+1＝a_k+－.

1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N^*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k+2时命题成立，那么综合上述，对于(　)

A．一切正整数命题成立

B．一切正奇数命题成立

C．一切正偶数命题成立

D．以上都不对

解析：选B.本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．

9．(2008年高考海南、宁夏卷)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

解析：a²＝9，b²＝16，故c＝5，

∴A(3,0)，F(5,0)，不妨设BF的方程为y＝(x－5)，

代入双曲线方程解得B(，－)．

∴S_△AFB＝|AF|·|y_B|＝·2·＝.