1．(2008年高考陕西卷)已知{a_n}是等差数列，a₁+a₂＝4，a₇+a₈＝28，则该数列前10项和S₁₀等于(　)

A．64 　　　　　　　　　　　　B．100

C．110　 　　　　　　　　　　　D．120

解析：选B.设等差数列公差为d，则由已知得

，

即，

解得a₁＝1，d＝2，

∴S₁₀＝10a₁+d＝10×1+×2＝100.

12．已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁＝a(0＜a＜1)，b₁＝1－a.当n≥2时，a_n＝a_n－1b_n，b_n＝.

(1)证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n＝1；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

解：(1)证明：用数学归纳法证明．

①当n＝1时，a₁+b₁＝a+(1－a)＝1，命题成立；

②假设n＝k(k≥1且k∈N^*)时命题成立，即a_k+b_k＝1，则当n＝k+1时，a_k+1+b_k+1＝a_kb_k+1+b_k+1＝(a_k+1)·b_k+1＝(a_k+1)·＝＝＝1.

∴当n＝k+1时，命题也成立．

由①、②可知，a_n+b_n＝1对n∈N^*恒成立．

(2)∵a_n+1＝a_nb_n+1＝＝＝，

∴＝＝+1，

即－＝1.

数列{}是公差为1的等差数列，其首项为＝，

＝+(n－1)×1，从而a_n＝.

11.已知点P_n(a_n，b_n)满足a_n+1＝a_n·b_n+1，b_n+1＝(n∈N^*)且点P₁的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P₁，P₂的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在(1)中的直线l上．

解：(1)由P₁的坐标为(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.

∴b₂＝＝.

a₂＝a₁·b₂＝.

∴点P₂的坐标为(，)

∴直线l的方程为2x+y＝1.

(2)证明：①当n＝1时，

2a₁+b₁＝2×1+(－1)＝1成立．

②假设n＝k(k∈N^*，k≥1)时，2a_k+b_k＝1成立，

则当n＝k+1时，

2a_k+1+b_k+1＝2a_k·b_k+1+b_k+1＝(2a_k+1)

＝＝＝1，

∴当n＝k+1时，命题也成立．

由①②知，对n∈N^*，都有2a_n+b_n＝1，

即点P_n在直线l上．

10．对于n∈N^*，用数学归纳法证明：

1·n+2·(n－1)+3·(n－2)+…+(n－1)·2+n·1＝n(n+1)(n+2)．

证明：设f(n)＝1·n+2·(n－1)+3·(n－2)+…+(n－1)·2+n·1.

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

(2)设当n＝k时等式成立，即1·k+2·(k－1)+3·(k－2)+…+(k－1)·2+k·1＝k(k+1)(k+2)，

则当n＝k+1时，

f(k+1)＝1·(k+1)+2[(k+1)－1]+3[(k+1)－2]+…+[(k+1)－2]·3+[(k+1)－1]·2+(k+1)·1

＝f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)

＝k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)

＝(k+1)(k+2)(k+3)．

∴由(1)(2)可知当n∈N^*时等式都成立．

9．数列{a_n}中，已知a₁＝1，当n≥2时，a_n－a_n－1＝2n－1，依次计算a₂，a₃，a₄后，猜想a_n的表达式是________．

解析：计算出a₁＝1，a₂＝4，a₃＝9，a₄＝16.

可猜想a_n＝n².

答案：n²

8．若f(n)＝1²+2²+3²+…+(2n)²，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是________．

解析：∵f(k)＝1²+2²+…+(2k)²，

∴f(k+1)＝1²+2²+…+(2k)²+(2k+1)²+(2k+2)²，

∴f(k+1)＝f(k)+(2k+1)²+(2k+2)².

答案：f(k+1)＝f(k)+(2k+1)²+(2k+2)²

7．利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)＝2ⁿ×1×3×…×(2n－1)，n∈N^*”时，从“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边应增乘的因式是________．

解析：当n＝k(k∈N^*)时，左式为(k+1)(k+2)…(k+k)；

当n＝k+1时，左式为(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k－1)·(k+1+k) ·(k+1+k+1)，

则左边应增乘的式子是＝2(2k+1)．

答案：2(2k+1)

6．在数列{a_n} 中，a₁＝，且S_n＝n(2n－1)a_n，通过求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的表达式为(　)

A.　 　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　D.

解析：选C.由a₁＝，S_n＝n(2n－1)a_n，

得S₂＝2(2×2－1)a₂，即a₁+a₂＝6a₂，

∴a₂＝＝，S₃＝3(2×3－1)a₃，

即++a₃＝15a₃.

∴a₃＝＝，a₄＝.故选C .

5．已知1+2×3+3×3²+4×3³+…+n×3^n－1＝3ⁿ(na－b)+c对一切n∈N^*都成立，则a、b、c的值为(　)

A．a＝，b＝c＝　 B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝　 D．不存在这样的a、b、c

解析：选A.∵等式对一切n∈N^*均成立，

∴n＝1,2,3时等式成立，即

整理得，

解得a＝，b＝c＝.

4．下列代数式(其中k∈N^*)能被9整除的是(　)

A．6+6·7^k　　　　B．2+7^k－1

C．2(2+7^k+1)　 　　　　　　D．3(2+7^k)

解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2+7^k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N^*)时，命题成立，即3(2+7ⁿ)能被9整除，那么3(2+7ⁿ⁺¹)＝21(2+7ⁿ)－36.

　这就是说，k＝n+1时命题也成立．