12.在等比数列{a_n}中，a_n>0(n∈N^*)，公比q∈(0,1)，且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈＝25，又a₃与a₅的等比中项为2.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；

(3)是否存在k∈N^*，使得++…+<k对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

解：(1)∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈＝25，

∴a₃²+2a₃a₅+a₅²＝25，

∴(a₃+a₅)²＝25，

又a_n>0，∴a₃+a₅＝5，

又a₃与a₅的等比中项为2，

∴a₃a₅＝4.

而q∈(0,1)，

∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，

∴q＝，a₁＝16，∴a_n＝16×()^n－1＝2^5－n.

(2)∵b_n＝log₂a_n＝5－n，∴b_n+1－b_n＝－1，

b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，

∴{b_n}是以b₁＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴S_n＝.

(3)由(2)知S_n＝，∴＝.

当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；

当n>9时，<0.

∴当n＝8或9时，+++…+＝18最大．

故存在k∈N^*，使得++…+<k对任意n∈N^*恒成立，k的最小值为19.

11．已知数列{a_n}中，a₁＝，点(n,2a_n+1－a_n)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….

(1)令b_n＝a_n+1－a_n－1，求证数列{b_n}是等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项．

解：(1)证明：a₁＝，2a_n+1＝a_n+n，

∵a₂＝，a₂－a₁－1＝－－1＝－，

又b_n＝a_n+1－a_n－1，b_n+1＝a_n+2－a_n+1－1，

∴＝

＝＝＝.

b_n＝－×()^n－1＝－×，

∴{b_n}是以－为首项，以为公比的等比数列．

(2)∵a_n+1－a_n－1＝－×，

∴a₂－a₁－1＝－×，

a₃－a₂－1＝－×，…

∴a_n－a_n－1－1＝－×，

将以上各式相加得：

∴a_n－a₁－(n－1)＝－(++…+)，

∴a_n＝a₁+n－1－×

＝+(n－1)－(1－)＝+n－2.

∴a_n＝+n－2.

10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n的表达式；

(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9¹⁰≈0.35.

解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，

且首项a₁＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴a_n＝a·0.9^n－1.

(2)10年出口总量

S₁₀＝＝10a(1－0.9¹⁰)．

∵S₁₀≤80，∴10a(1－0.9¹⁰)≤80，

即a≤，∴a≤12.3.

故2010年最多出口12.3吨．

9．某纺织厂的一个车间有n(n>7，n∈N^*)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1,2,3，…，n.定义记号a_ij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定a_ij＝1，否则a_ij＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a₁₇+a₂₇+a₃₇+a₄₇+…+a_n7＝________；若a₃₁+a₃₂+a₃₃+a₃₄+…+a_3n＝2，说明________________________．

解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a₁₇，a₂₇，a₃₇，…，a_n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，

∴a₁₇+a₂₇+a₃₇+…+a_n7＝1.

同理，由a₃₁+a₃₂+a₃₃+…+a_3n＝2.

说明a₃₁，a₃₂，a₃₃，…，a_3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，

即第3号工人操作了2台织布机．

答案：1　a₃₁，a₃₂，a₃₃，…，a_3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机

8．已知函数f(x)＝a·b^x的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记a_n＝log₂f(n)(n∈N^*)，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S_n的最小值是________．

解析：将A、B两点坐标代入f(x)得

，解得

∴f(x)＝·2^x，

∴f(n)＝·2ⁿ＝2^n－3，

∴a_n＝log₂f(n)＝n－3.

令a_n≤0，即n－3≤0，n≤3.

∴数列前3项小于或等于零，故S₃或S₂最小．

S₃＝a₁+a₂+a₃＝－2+(－1)+0＝－3.

答案：－3

7．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于________．

解析：由条件得，(n－2)×180°＝120°×n+×5°，

∴n＝9或n＝16，

∵a₁₆＝120°+(16－1)×5°＝195°>180°，

∴n＝16(舍去)，而a₉＝160°<180°，

∴n＝9.

答案：9

6．已知{a_n}是递增数列，且对任意n∈N^*都有a_n＝n²+λn恒成立，则实数λ的取值范围是(　)

A．(－，+∞)　 　　　　　　B．(0，+∞)

C．[－2，+∞)　 　　　　　　D．(－3，+∞)

解析：选D.∵{a_n}是递增数列，∴a_n+1＞a_n，即(n+1)²+λ(n+1)＞n²+λn，∴λ＞－2n－1对于n∈N^*恒成立．

而－2n－1在n＝1时取得最大值－3，∴λ＞－3，故选D.

5．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到(　)

A．4800元　 　　　　　　　B．8000元

C．9600元　 　　　　　　　D．11200元

解析：选B.由题意知，5天共捐款

10×10+(10×2)×(10+5)+(10×4)×(15+5)+(10×8)×(20+5)+(10×16)×(25+5)＝8000(元)．

4．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有(　)

A．6只　 　　　　　　　　B．5只

C．8只　 　　　　　　　　D．7只

\x(　蜂巢断面为正六边形(二解析：选A.依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列，

设a₁＝7，d>0，S_n－1＝65－10＝55.

∴有(n－1)a₁+d＝55.

即7(n－1)+＝55，

(n－1)[7+]＝55，

∵55＝11×5且(n－1)∈Z，[7+]∈Z.

∴∴n＝6.

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂＝10，S₅＝55，则过点P(n，a_n)和Q(n+2，a_n+2)(n∈N^*)的直线的一个方向向量的坐标可以是(　)

A．(2,4)　 　　　　　　　　B．(－，－)

C．(－，－1)　 　　　　　D．(－1，－1)

解析：选B.由S₂＝10，S₅＝55，得2a₁+d＝10,5a₁+10d＝55，解得a₁＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有(－，－)与(1,4)平行．故选B.