4．在数列{a_n}中，a₁＝1，a_na_n－1＝a_n－1+(－1)ⁿ(n≥2，n∈N^*)，则的值是(　)

A. 　　　　　　　　　　　　　B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　D.

解析：选C.由已知得a₂＝1+(－1)²＝2，

∴a₃·a₂＝a₂+(－1)³，

∴a₃＝，

∴a₄＝+(－1)⁴，

∴a₄＝3，

∴3a₅＝3+(－1)⁵，∴a₅＝，

∴＝×＝.

3．下面有四个命题：

①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；

②数列，，，，…的通项公式是a_n＝；

③数列的图象是一群孤立的点；

④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．

其中正确命题的个数是(　)

A．1　 　　　　　　　　　　B．2

C．3 　　　　　　　　　　D．4

解析：选A.①错误，如a_n+2＝a_n+a_n+1，a₁＝1就无法写出a₂；

②错误，a_n＝；

③正确；

④两数列是不同的有序数列．故应选A.

2．已知数列的通项a_n＝，则a₂₀₀₉－a₂₀₁₀等于(　)

A．2007 　　　　　　　　　B．2008

C．2009　 　　　　　　　　D．2010

解析：选C.a₂₀₀₉＝3×2009+1＝6028；

a₂₀₁₀＝2×2010－1＝4019.

故a₂₀₀₉－a₂₀₁₀＝6028－4019＝2009.故应选C.

1．已知数列，，，，…，则5是数列的(　)

A．第18项　 　　　　　　　B．第19项

C．第17项 　　　　　　　　D．第20项

解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，

即a_n²－a_n－1²＝4，

∴a_n²＝3+(n－1)×4＝4n－1，

令4n－1＝75，则n＝19.故选B.

6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：

(1)a₁＝0，a_n+1＝a_n+(2n－1)(n∈N^*)；

(2)a₁＝3，a_n+1＝3a_n(n∈N^*)．

解：(1)由条件得a₁＝0，a₂＝0+1＝1＝1²，

a₃＝1+(2×2－1)＝4＝2²，

a₄＝4+(2×3－1)＝9＝3²，

归纳通项公式为a_n＝(n－1)².

(2)由条件得a₁＝3，a₂＝3a₁＝3²，

a₃＝3a₂＝3³，a₄＝3a₃＝3⁴，

　　 归纳通项公式为a_n＝3ⁿ.

练习

5．数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是________．

解析：从上面的规律可以看出，

解上式得.

答案：(，－)

4.数列{a_n}满足a₁＝0，a_n+1＝a_n+2n，则{a_n}的通项公式a_n＝________.

解析：由已知，a_n+1－a_n＝2n，故a_n＝a₁+(a₂－a₁)+(a₃－a₂)+…+(a_n－a_n－1)＝0+2+4+…+2(n－1)＝n(n－1)．

答案：n(n－1)

3．(2008年高考江西卷)在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝a_n+ln(1+)，则a_n＝(　)

A．2+lnn　 　　　　　　　　B．2+(n－1)lnn

C．2+nlnn　 　　　　　　　　D．1+n+lnn

解析：选A.因为a_n+1＝a_n+ln(1+)，

从而有a_n＝a_n－1+ln

a_n－1＝a_n－2+ln

⋮　　　⋮

a₂＝a₁+ln2

累加得a_n+1＝a₁+ln(···…·)

＝2+ln(n+1)，

∴a_n＝2+lnn，故应选A.

2．已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝，则a₅＝(　)

A．108 　　　　　　　　　　B.

C．161 　　　　　　　　　　D.

解析：选D.a₁＝1，a₂＝＝，a₃＝＝，a₄＝＝，a₅＝＝.

1．下列说法正确的是(　)

A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列

C．数列{}的第k项为1+

D．数列0,2,4,6，…可记为{2n}

解析：选C.由数列的定义可知A、B错误；数列{}的第k项为＝1+，故C正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a_n＝2n－2，故D错．综上可知，应选C.