11．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？

(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？

(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

解：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A₄³＝24(种)．

(2)∵总的排法数为A₅⁵＝120(种)，

∴甲在乙的右边的排法数为A₅⁵＝60(种)．

(3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有C₇²×2＝42(种)；

若分配到3所学校有C₇³＝35(种)．

∴共有7+42+35＝84(种)方法．

法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C₉⁶＝84种不同方法．

所以名额分配的方法共有84种．

10．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取1只测试，直到4只次品全测出为止，求最后1只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

解：法一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有C₆¹C₄¹种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有A₄⁴种排法．故不同的情形共有C₆¹C₄¹A₄⁴＝576(种)．

法二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有C₄¹种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有C₆¹A₄⁴种方法．故不同的情形共有C₄¹C₆¹A₄⁴＝576(种)．

9．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是________个．把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第________个数(用数字作答)．

解析：不含0的三位数有2C₉³个，含0的三位数中，0只能作为个位数，有C₉²个，共有满足条件的三位数2C₉³+C₉²＝204(个)；百位为1的数共有C₈²＝28个，百位为2的数共有C₇²+1＝22(个)，百位为3的数从小到大排列为310,320,321，…，故321是第53个数．

答案：204　53

8．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手组成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．

解：甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A₄⁴种方法．

乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A₄⁴种方法．

丙传第一棒，共有C₂¹·A₄⁴种方法．

由分类加法计数原理，共有A₄⁴+A₄⁴+C₂¹·A₄⁴＝96(种)方法．

答案：96

7．(2009年高考浙江卷)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．

解析：可分三步来做这件事：

第一步：先将3、5排列，共有A₂²种排法；

第二步：再将4、6插空排列，共有2A₂²种排法；

第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C₅¹种排法．

由分步乘法计数原理得共有A₂²·2A₂²·C₅¹＝40(种)．

答案：40

6．(2009年高考全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(　)

A．6种　 　　　　　　　　B．12种

C．30种　 　　　　　　　D．36种

解析：选C.甲、乙所选修课程中有1门不相同时，先从4门功课中选1门让甲、乙共同选修有C₄¹种，甲选修的另一门有C₃¹种，乙选修另一门有C₂¹种，共有C₄¹C₃¹C₂¹＝24种不同选修方法．甲、乙所选课程中有2门各不相同，则甲有C₄²，乙有C₂²种，共有C₄²C₂²＝6种不同选法，因此共有C₄¹C₃¹C₂¹+C₄²C₂²＝30种不同选法．

5．(2009年高考湖北卷)从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人1天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有(　)

A．120种　 　　　　　　　B．96种

C．60种　 　　　　　　　　D．48种

解析：选C.从5人中选4人有C₅⁴种方法，星期五有一人参加有C₄¹种方法．星期六有两人参加有C₃²种方法，共有C₅⁴C₄¹C₃²＝5×4×3＝60.

4．(2008年高考海南、宁夏卷)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有(　)

A．20种　 　　　　　　　　B．30种

C．40种　 　　　　　　　　D．60种

解析：选A.甲排周一时，有A₄²＝12种排法．

甲排周二时，有A₃²＝6种排法．

甲排周三时，有A₂²＝2种排法．

故共有12+6+2＝20种不同的排法．

3.(2008年高考安徽卷)12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(　)

A．C₈²A₃² 　　　　　　　　　B．C₈²A₆⁶

C．C₈²A₆²　 　　　　　　　　D．C₈²A₅²

解析：选C.从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C₈²A₆²，故选C.

2．设A是平面上的点(x，y)＝(k，k³)(k＝－1,0,1,3,4)组成的集合，P、M、N均是集合A中的元素，则由P、M、N组成三角形的个数是(　)

A．C₅³ 　　　　　　　　　　B．C₅³－3

C．C₅³－C₃³　 　　　　　　　D．C₅³－C₃¹C₂²

解析：选C.只有(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点共线：C₅³－C₃³.