6．中心在原点，一个焦点为F₁(0，)的椭圆截直线y＝3x－2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．

解：设椭圆的标准方程为+＝1(a＞b＞0)，由F₁(0，)得a²－b²＝50.把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程整理得(a²+9b²)x²－12b²x+b²(4－a²)＝0.设弦的两个端点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则由根与系数的关系得x₁+x₂＝，又AB的中点的横坐标为，∴＝＝，∴a²＝3b²，与方程a²－b²＝50联立可解出a²＝75，b²＝25.故椭圆的方程为+＝1.

练习

5．已知F₁、F₂为椭圆+＝1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点．若|F₂A|+|F₂B|＝12，则|AB|＝________.

解析：由椭圆的定义得

两式相加得|AB|+|AF₂|+|BF₂|＝20，

即|AB|+12＝20，

∴|AB|＝8.

答案：8

4.椭圆5x²－ky²＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.

解析：方程可化为x²+＝1.

∵焦点(0,2)在y轴上，

∴a²＝－，b²＝1，

又∵c²＝a²－b²＝4，∴a²＝5，

解得k＝－1.

答案：－1

3．(2009年高考江西卷)过椭圆+＝1(a＞b＞0)的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂＝60°，则椭圆的离心率为(　)

A.　 　　　　　B.

C.　 　　　　　　D.

解析：选B.由题意知点P的坐标为(－c，)或(－c，－)，

∵∠F₁PF₂＝60°，

∴＝，即2ac＝b²＝(a²－c²)．

∴e²+2e－＝0，∴e＝或e＝－(舍去)．

2．已知椭圆+＝1的左、右焦点分别为F₁、F₂，M是椭圆上一点，N是MF₁的中点，若|ON|＝1，则MF₁的长等于(　)

A．2　 　　　　　　B．4

C．6　 　　　　　　D．5

解析：选C.由椭圆方程知a＝4，

∴|MF₁|+|MF₂|＝8，

∴|MF₁|＝8－|MF₂|＝8－2|ON|＝8－2＝6.

1．直线l：x－2y+2＝0过椭圆左焦点F₁和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(　)

A.　 　　　　　　　B.

C.　 　　　　　　D.

解析：选D.在l：x－2y+2＝0上，

令y＝0得F₁(－2,0)，

令x＝0得B(0,1)，即c＝2，b＝1.

∴a＝，e＝＝.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b²+c²－a²)，则∠A＝________.

解析：由已知得：bcsinA＝(b²+c²－a²)⇒＝sinA，由余弦定理可得cosA＝sinA⇒A＝.

3．在△ABC中，cos2B>cos2A是A>B的(　)

A．充分而不必要条件　 　　　B．必要而不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

解析：选C.cos2B>cos2A⇒1－2sin²B>1－2sin²A⇒sin²B<sin²A⇒sinA>sinB⇒A>B.

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为(　)

A．1 　　　　　　　　　　　B．2

C.　 　　　　　　　　　　　D.

解析：选D.由已知得：bcsinA＝×1×c×sin60°＝⇒c＝2，则由余弦定理可得：a²＝4+1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝.

1．(2008年高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　B．2

C.　 　　　　　　　　　　　　D.

解析：选D.由正弦定理得＝，

∴sinC＝.

又∵C为锐角，∴C＝30°，∴A＝30°，

△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.