2．设抛物线y²＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　)

A．[－，]　　　　　B．[－2,2]

C．[－1,1]　 　　　　　　　　　D．[－4,4]

解析：选C.设直线方程为y＝k(x+2)，与抛物线联立方程组，整理得ky²－8y+16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k²≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.所以－1≤k≤1.

1．下列说法正确的是(　)

A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x＝2

B．方程y＝x²(x≥0)的曲线是抛物线

C．已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|－|PB|＝|AB|，则P点的轨迹是双曲线

D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x

解析：选D.曲线与方程概念：(1)曲线上所有点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．选项A符合(1)但不符合(2)．选项B符合(2)但不符合(1)．选项C符合(2)但不符合(1)．选项D符合(1)、(2)．故选D.

6．已知椭圆C₁：+＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程．

解：(1)由e＝，得＝1－e²＝；

由直线l：x－y+2＝0与圆x²+y²＝b²相切，得＝|b|.

所以，b＝，a＝

所以椭圆的方程是+＝1.

(2)由条件，知|MF₂|＝|MP|，即动点M到定点F₂(1,0)的距离等于它到直线l₁：x＝－1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²＝4x.

练习

5．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x²－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．

解析：过A、B两点的直线为：x+y＝a与抛物线y＝x²－2x－3联立得：x²－x－a－3＝0.

因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．

即Δ＝1+4(a+3)＜0，

解之得a＜－.

答案：(－∞，－)

4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．

解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F(1,0)，故抛物线方程为y²＝4x.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁≠x₂)，

则y₁²＝4x₁，y₂²＝4x₂.

∴(y₁－y₂)(y₁+y₂)＝4(x₁－x₂)，

∴k_AB＝＝1，

∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.

答案：y＝x

3．(原创题)设x₁、x₂∈R，常数a>0，定义运算“*”：x₁*x₂=( x₁+x₂)²-( x₁-x₂)²,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是(　)

A．圆　 　　　　　　　　　B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分　 　　　D．抛物线的一部分

解析：选D.∵x₁* x₂＝( x₁+x₂)²-( x₁-x₂)²，

∴=＝2.

则P(x,2)．设P(x₁，y₁)，

即

消去x得y₁²＝4ax₁(x₁≥0，y₁≥0)．

故点P的轨迹为抛物线的一部分．

2．已知抛物线C₁：y＝2x²与抛物线C₂关于直线y＝－x对称，则C₂的准线方程为(　)

A．x＝　 　　　　　　　　B．x＝－

C．x＝　 　　　　　　　　D．x＝－

解析：选A.因y＝2x²的准线方程为y＝－，关于y＝－x对称方程为x＝.

1．曲线C的方程是y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　)

A．(0,0) 　　　　　　　　　B．(，)

C．(1,5)　 　　　　　　　　D．(4,4)

解析：选D.∵1≤x≤5，∴C、D中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D满足．

12.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是椭圆+＝1(a>b>0)上的两点，m＝(，)，n＝(，)，且满足m·n＝0，椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值．

解：(1)2b＝2，b＝1，e＝＝＝⇒a＝2，c＝.

故椭圆的方程为+x²＝1.

(2)设AB的方程为y＝kx+，

由⇒(k²+4)x²+2kx－1＝0.

x₁+x₂＝，

x₁x₂＝，

由已知0＝m·n＝+

＝x₁x₂+(kx₁+)(kx₂+)

＝(1+)x₁x₂+(x₁+x₂)+

＝·(－)+·+，

解得k＝±.

11．已知点P(3,4)是椭圆+＝1(a>b>0)上的一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：

(1)椭圆方程；

(2)△PF₁F₂的面积．

解：(1)法一：令F₁(－c,0)，F₂(c,0)，

∵PF₁⊥PF₂，∴k_PF1·k_PF2＝－1，

即·＝－1，解得c＝5，

∴椭圆方程为+＝1.

∵点P(3,4)在椭圆上，

∴+＝1，

解得a²＝45或a²＝5，

又a>c，∴a²＝5舍去，

故所求椭圆方程为+＝1.

法二：∵PF₁⊥PF₂，

∴△PF₁F₂为直角三角形，

∴|OP|＝|F₁F₂|＝c.

又|OP|＝＝5，∴c＝5，

∴椭圆方程为+＝1(以下同法一)．

(2)法一：P点纵坐标的值即为F₁F₂边上的高，

∴S_△PF1F2＝|F₁F₂|×4＝×10×4＝20.

法二：由椭圆定义知：|PF₁|+|PF₂|＝6①

又|PF₁|²+|PF₂|²＝|F₁F₂|²②

①²－②得2|PF₁|·|PF₂|＝80，

∴S_△PF1F2＝|PF₁|·|PF₂|＝20.