12．已知直线x+ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知圆O：x²+y²＝1，直线l：mx+ny＝1.试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

解：(1)由x+ky－3＝0得，(x－3)+ky＝0，

所以直线过定点(3,0)，即F为(3,0)．

设椭圆C的方程为+＝1(a＞b＞0)，

则解得

故所求椭圆C的方程为+＝1.

(2)因为点P(m，n)在椭圆C上运动，所以+＝1.

从而圆心O到直线l的距离

d＝＝＝ ＜1.

所以直线l与圆O恒相交．

又直线l被圆O截得的弦长

L＝2＝2 ＝2，

由于0≤m²≤25，

所以16≤m²+16≤25，则L∈[，]，

即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[，]．

11.(2009年高考辽宁卷)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

解：(1)由题意，知c＝1，可设椭圆方程为+＝1.

因为A在椭圆上，所以+＝1，

解得b²＝3，b²＝－(舍去)．

所以椭圆的方程为+＝1.

(2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)+，代入+＝1，得(3+4k²)x²+4k(3－2k)x+4(－k)²－12＝0.

设E(x_E，y_E)，F(x_F，y_F)，因为点A(1，)在椭圆上，所以x_E＝，y_E＝kx_E+－k.

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得x_F＝，y_F＝－kx_F++k.所以直线EF的斜率k_EF＝＝＝.

即直线EF的斜率为定值，其值为.

10．已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：x²+y²＝1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．

解：设MN切圆C于N，又圆的半径为|CN|＝1，

因为|CM|²＝|MN|²+|CN|²＝|MN|²+1，

所以|MN|＝.

由已知|MN|＝|MQ|+1，设M(x，y)，则

＝+1，

两边平方得2x－3＝，

即3x²－y²－8x+5＝0(x≥)．

9．过抛物线y²＝4x的焦点，且倾斜角为π的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积等于________．

解析：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则S＝|OF|·|y₁－y₂|.

直线为x+y－1＝0，即x＝1－y代入y²＝4x得：

y²＝4(1－y)，即y²+4y－4＝0，∴y₁+y₂＝－4，y₁y₂＝－4，

∴|y₁－y₂|＝＝＝4，

∴S＝|OF|·|y₁－y₂|＝×4＝2.

答案：2

8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．

答案：2

7．(2009年高考福建卷)过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－与y²＝2px联立，得x²－3px+＝0.∴x_A+x_B＝3p.

由焦半径公式x_A+x_B+p＝4p＝8，得p＝2.

答案：2

6．设P为圆x²+y²＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ，(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为(　)

A．圆 　　　　　　　　　　B．椭圆

C．双曲线 　　　　　　　　D．抛物线

解析：选B.设M(x，y)，P(x₀，y₀)，

则Q(x_0,0)，由＝λ

得(λ>0)

∴

由于x₀²+y₀²＝1，∴x²+(λ+1)²y²＝1.

∴M的轨迹是椭圆．

5．(2009年高考山东卷)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　)

A. 　　　　　　　　　　　　B．5

C.　 　　　　　　　　　　　D.

解析：选D.不妨设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y，得x²－x+1＝0有唯一解，

所以Δ＝(－)²－4＝0，所以＝2，e＝＝＝＝，故选D.

4．抛物线y＝x²到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　)

A．(，) 　　　　　　　　　B．(1,1)

C．(，)　 　　　　　　　　　D．(2,4)

解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x²上任一点，则P到直线的距离d＝＝＝，

∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．

3．斜率为1的直线l与椭圆+y²＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　)

A．2 　　　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　D.

解析：选C.设直线l的方程为y＝x+t，代入+y²＝1，消去y得x²+2tx+t²－1＝0，由题意得Δ＝(2t)²－5(t²－1)＞0，即t²＜5.弦长|AB|＝4×≤.