4．(2009年高考辽宁卷)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为(　)

A．(x+1)²+(y－1)²＝2 　　B．(x－1)²+(y+1)²＝2

C．(x－1)²+(y－1)²＝2　 　　D．(x+1)²+(y+1)²＝2

解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a，－a)，则＝，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆的方程为(x－1)²+(y+1)²＝2.

3．(2009年高考上海卷)点P(4，－2)与圆x²+y²＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　)

A．(x－2)²+(y+1)²＝1　 　　　　B．(x－2)²+(y+1)²＝4

C．(x+4)²+(y－2)²＝1 　　　　D．(x+2)²+(y－1)²＝1

解析：选A.设圆上任意一点为(x₁，y₁)，中点为(x，y)，

则代入x²+y²＝4得

(2x－4)²+(2y+2)²＝4，化简得(x－2)²+(y+1)²＝1.

2．若曲线x²+y²+a²x+(1－a²)y－4＝0关于直线y－x＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a为(　)

A．± 　　　　　　　　　　　B．±

C.或－　 　　　　　　　　　D．－或

解析：选B.由题意知，圆心C(－，)在直线y－x＝0上，∴+＝0，∴a²＝，∴a＝±.故选B.

(注：F＝－4＜0，不需验D²+E²－4F＞0)

1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x+y－2＝0上的圆的方程是(　)

A．(x－3)²+(y+1)²＝4 　　　　　B．(x+3)²+(y－1)²＝4

C．(x－1)²+(y－1)²＝4　 　　　　D．(x+1)²+(y+1)²＝4

解析：选C.设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.

∵圆心C在直线x+y－2＝0上，∴b＝2－a.

由|CA|²＝|CB|²得

(a－1)²+(b+1)²＝(a+1)²+(b－1)²，

即(a－1)²+(2－a+1)²＝(a+1)²+(2－a－1)²，

解得a＝1，b＝1，∴r＝|CA|＝＝2.

即所求圆的方程为(x－1)²+(y－1)²＝4.

6．已知圆x²+y²＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解：(1)设AP中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

∵P点在圆x²+y²＝4上， ∴(2x－2)²+(2y)²＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)²+y²＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，则ON⊥PQ，

所以|OP|²＝|ON|²+|PN|²＝|ON|²+|BN|²，

所以x²+y²+(x－1)²+(y－1)²＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x²+y²－x－y－1＝0.

练习

5．(原创题)已知圆x²+y²+2x－4y+a＝0关于直线y＝2x+b成轴对称，则a－b的取值范围是________．

解析：圆的方程变为(x+1)²+(y－2)²＝5－a，

∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.

又圆关于直线y＝2x+b成轴对称，

∴2＝－2+b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.

答案：(－∞，1)

4．(2009年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x+y＝6相切的圆的方程是________．

解析：将直线x+y＝6化为x+y－6＝0，圆的半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)²+(y+1)²＝.

答案：(x－2)²+(y+1)²＝

3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　)

A．π　　　　　　　　　　 　B．4π

C．8π　 　　　　　　　　　　D．9π

解析：选B.设P(x，y)，由题知有：(x+2)²+y²＝4[(x－1)²+y²]，整理得x²－4x+y²＝0，配方得(x－2)²+y²＝4.可知圆的面积为4π，故选B.

2．已知⊙C：x²+y²+Dx+Ey+F＝0，则F＝E＝0且D＜0是⊙C与y轴相切于原点的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－，0)，而D可以大于0，故选A.

1．圆(x+2)²+y²＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　)

A．(x－2)²+y²＝5　 　　　　　B．x²+(y－2)²＝5

C．(x+2)²+(y+2)²＝5　 　　　D．x²+(y+2)²＝5

答案：A