2．(　　 )若等差数列的各项依次递减，且a₂a₄a₆=45,a₂+a₄+a₆=15，则数列{a_n}的通项公式为　

A．2n－3　　　　　　　　　　　　　 B．－2n+3　　　　　　　　　 C．－2n+13　　　　　　　　　　　　　　　 D．2n+9

1．(　　 )已知是等差数列，且公差，它们前项和，则满足的关系是　 A．．　　　　 B． ．　　　　 C． ．　　　　 D．

5.( B　 )在等差数列等于　　　　　 (　　 )

　　　　 A．55　　　　　　　　　　　　　　　 B．40　　　　　　　　　　　　　　　 C．35　　　　　　　　　　　　　　　 D．70

6设是等差数列的前项和，已知则=______18____.

7在等差数列中，，其前项的和为．若，则_____-200_8_____

例1已知数列中，，，数列满足

(1)　　　　　 求证：数列是等差数列；

(2)　　　　　 求数列中的最大值和最小值，并说明理由

(1),而,

∴,；故数列是首项为，公差为1的等差数列；

(2)由(1)得，则；设函数，

函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1，

∴，．

例2设等差数列的前n项和为，已知，求：

①数列的通项公式　 ②当n为何值时，最大，最大值为多少？

解析：由 得　 得

∴　

∴当时，

例3.在数列中，(1)设证明是等差数列;(2)求数列的前项和。

解析：(1)由已知得，

又是首项为1，公差为1的等差数列；

(2)由(1)知

两式相减得

等差数列的性质同步练习题一　　　班级　　　姓名　　　　

21.已知数列{a_n}中，a₁>0, 且a_n+1=，　 (Ⅰ)试求a₁的值，使得数列{a_n}是一个常数数列；

(Ⅱ)试求a₁的取值范围,使得a_n+1>a_n对任何自然数n都成立；

(Ⅲ)若a₁ = 2，设b_n = | a_n+1－a_n| (n = 1，2，3，…)，并以S_n表示数列{b_n}的前n项的和，求证：S_n<．

[思路分析]：解：(Ⅰ)欲使数列{a_n}是一个常数数列，则a_n+1== a_n ……………………2’

又依a₁>0，可得a_n>0并解出：a_n=，即a₁ = a_n = ……………………4’

(Ⅱ)研究a_n+1－a_n=－= (n≥2) 　注意到>0

因此，可以得出：a_n+1－a_n，a_n－a_n－1，a_n－1－a_n－2，…，a₂－a₁有相同的符号……………7’

要使a_n+1>a_n对任意自然数都成立,只须a₂－a₁>0即可.由>0，解得：0<a₁<………………9’

(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得　 当a₁>时，a_n+1<a_n对任何自然数n都成立.

因此当a₁=2时，a_n+1－a_n<0　　　 ……………………………………………10’

∴　 S_n= b₁+b₂+…b_n=|a₂－a₁| + |a₃－a₂| +…+ |a_n+1－a_n|=a₁－a₂+a₂－a₃+…+a_n－a_n+1

=a₁－a_n+1=2－a_n+1 ………………………………………………………13’

又：a_n+2=< a_n+1，可解得a_n+1>, 故S_n<2－=………………………………………14’

20．已知函数f(x)＝－x³+ax在(0，1)上是增函数．(1)　求实数a的取值集合A；

(2)　当a取A中最小值时，定义数列{a_n}满足：2a_n+1＝f(a_n)，且a₁＝b∈(0，1)(b为常数)，试比较a_n+1与a_n的大小；　 (3)　在(2)的条件下，问是否存在正实数c．使0<＜2对一切n∈N^＊恒成立？

(1)f'(x)＝3x²+a＞0，对x∈(0，1)恒成立，求出a≥3．………………4分

(2)当a＝3时，由题意：a_n+1＝－a+a_n，且a₁＝b∈(0，1)

　以下用数学归纳法证明：a_n∈(0，1)，对n∈N^＊恒成立．

①当n＝1时，a₁＝b∈(0，1)成立；………………………………………………6分

②假设n＝k时，a_k∈(0，1)成立，那么当n＝k+1时，　　 a_k+1＝a_k³+a_k，由①知g(x)＝(－x³+3x)

在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(a_k)＜g(1)　　 即0＜a_k+1＜1，　由①②知对一切n∈N^＊都有a_n∈(0，1)　　 　

而a_n+1－a_n＝－a_n³+a_n－a_n＝a_n(1－a_n²)＞0　 ∴a_n+1＞a_n…………………………………10分

(3)存在正实数c，使0＜＜2恒成立,令y＝＝1+，在(c，+∞)上是减数，

∴随着a_n增大，而小，　 　又{a_n}为递增数列，所以要使0＜＜2恒成立，

只须∴0＜c＜，即0＜c＜　　　　　 ………　　 14分

19．已知f(x+1)=x²－4,等差数列{a_n}中,a₁=f(x－1), a₂=－,a₃=f(x)．(1)求x值；(2)求a₂+a₅+a₈+…+a₂₆的值．

[解] (1)∵f(x－1)=(x－1－1)²－4=(x－2)²－4　　 ∴f(x)=(x－1)²－4,∴a₁=(x－2)²－4,a₃=(x－1)²－4

又a₁+a₃=2a₂,解得x=0或x=3．

(2)∵a₁、a₂、a₃分别为0、－、－3或－3、－、0　　　 ∴a_n=－(n－1)或a_n=(n－3)

①当a_n=－(n－1)时，a₂+a₅+…+a₂₆=(a₂+a₂₆)=

②当a_n=(n－3)时，a₂+a₅+…+a₂₆=(a₂+a₂₆)=．

18．设等差数列{a_n}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于　 75　 ．

17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于__5　 _．

16．等差数列{a_n}中，若a₃+a₅=a₇－a₃=24,则a₂=___0___．

15．已知等差数列{a_n}的公差d =，且前100项和S­₁₀₀ = 145，那么a₁ + a₃ + a₅ +…+a₉₉ =　 60　 .