5．设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．A　 B．B

C．(∁_UA)∩B　 D．A∩(∁_UB)

解析：画一个一般情况的韦恩图：

图1

由题目的规定，可知选B.

答案：B

4．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x|≥1，x∈Z}，则M∩P等于(　)

A．{x|0<x≤3，x∈Z}　 　　　　　　　　　　　　　 B．{x|0≤x≤3，x∈Z}

C．{x|－1≤x≤0，x∈Z}　 　　　　　　　　　　　 D．{x|－1≤x<0，x∈Z}

解析：∵|x－1|≤2⇔－2≤x－1≤2⇔－1≤x≤3，

∴M＝{x|－1≤x≤3，x∈R}．

又∵≥1⇔≥0⇔≤0⇔－1<x≤4.

又∵x∈Z，∴P＝{0,1,2,3,4}．

∴M∩P＝{0,1,2,3}＝{x|0≤x≤3，x∈Z}．

答案：B

3．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的　　　　　　　　　　 (　)

A．充分而不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　 B．必要而不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析：两偶数之和必为偶数，但两个数的和为偶数，这两个数未必都是偶数，如1+3＝4,3+5＝8等等，故选A.

答案：A

2．(2010·西安八校联考)设全集U＝R，集合M＝{x|x>0}，N＝{x|x²≥x}，则下列关系中正确的是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．M∪N⊆M　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．M∪N＝R

C．M∩N∈M　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(∁_UM)∩N＝Ø

解析：依题意易得N＝{x|x≥1或x≤0}，所以M∪N＝R.

答案：B

1．(2009·全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁_U(A∩B)中的元素共有　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．3个　　　　　　　　　　　　　 B．4个

C．5个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．6个

解析：依题意得U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，故∁_U(A∩B)＝{3,5,8}，选A.

答案：A

22．(14分)(1)求证：kC＝nC；

(2)等比数列{a_n}中，a_n>0，化简：

A＝lga₁－Clga₂+Clga₃－…+(－1)ⁿClga_n+1.

解：(1)∵左式＝k·＝

＝n·＝nC＝右式，

∴kC＝nC.

(2)由已知：a_n＝a₁q^n－1，

∴A＝lga₁－C(lga₁+lgq)+C(lga₁+2lgq)－C(lga₁+3lgq)+…+(－1)ⁿC(lga₁+nlgq)

＝lga₁[1－C+C－…+(－1)ⁿC]－lgq[C－2C+3C－…+(－1)^n－1C·n]＝lga₁·(1－1)ⁿ－lgq[nC－nC+nC－…+(－1)^n－1·nC]

＝0－nlgq[C－C+C－…+(－1)^n－1·C]

＝－nlgq(1－1)^n－1＝0.

21．(12分)已知(－)ⁿ的展开式的各项系数之和等于(4－)⁵的展开式中的常数项，求：

(1)(－)ⁿ展开式的二项式系数和；

(2)(－)ⁿ的展开式中a^－1项的二项式系数．

解：依题意，令a＝1，得(－)ⁿ展开式中各项系数和为(3－1)ⁿ＝2ⁿ，(4－)⁵展开式中的通项为T_r+1＝C(4)^5－r(－)^r＝(－1)^rC4^5－r5－b.

若T_r+1为常数项，则＝0，即r＝2，

故常数项为T₃＝(－1)²C·4³·5^－1＝2⁷，

于是有2ⁿ＝2⁷，得n＝7.

(1)(－)ⁿ展开式的二项式系数和为

2ⁿ＝2⁷＝128.

(2)(－)⁷的通项为

T′_r+1＝C()^7－r·(－)^r＝C(－1)^r·3^7－r·a，

令＝－1，得r＝3，

∴所求a^－1项的二项式系数为C＝35.

20．(12分)平面上有n个点，无三点共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n个点外无三线共点，问除平面上原有n个点之外，这些直线还会有多少个新交点？

解：(图形法)先从n个点中选4点，有C种选法．如图1，设所选点为A、B、C、D.因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A、B、C、D四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C＝n(n－1)(n－2)(n－3)．

图1

19．(12分)若(1+2x)¹⁰⁰＝a₀+a₁(x－1)+a₂·(x－1)²+…+a₁₀₀(x－1)¹⁰⁰，求a₁+a₃+a₅+…+a₉₉.

解：令x－1＝t，则x＝t+1，于是已知恒等式可变为(2t+3)¹⁰⁰＝a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₀₀t¹⁰⁰，

又令f(t)＝(2t+3)¹⁰⁰，

则a₁+a₃+a₅+…+a₉₉＝[f(1)－f(－1)]

＝[(2+3)¹⁰⁰－(－2+3)¹⁰⁰]＝(5¹⁰⁰－1)．

18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？

解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A·A＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有AAA＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48+384＝432个．

解法2：(间接法)任取3张卡片共有C·C·C·C·A种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C·C·C·A种，故符合条件的三位数共有C·C·C·C·A－C·C·C·A＝432个．