17．(12分)(2010·石家庄质检)如图10，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，G、H分别为BC、B₁D₁的中点．

图10

　(1)指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；

(2)求异面直线GH与DF所成角的大小．

解：(1)连结EH，易知EH＝BG且EH∥BG，

所以四边形EHGB为平行四边形，所以GH∥BE，所以GH∥平面EFDB.

(2)取BD中点M，连结MF，易知MF∥BE，所以MF∥GH，

所以∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，

设正方体棱长为2，

可得，MF＝，DF＝，MD＝，

在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD＝，

∴异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos.

16．(2010·东北三校一模)如图8，将∠B＝，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D，若θ∈[，]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：

图8

①AC⊥MN；

②DM与平面ABC所成的角是θ；

③线段MN的最大值是，最小值是；

④当θ＝时，BC与AD所成的角等于.

其中正确的说法有__________(填上所有正确说法的序号)．

解析：如图9(1)，AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正确；因为θ∈[，]，且线与面所成角的范围为[0，]，所以DM与平面ABC所成的角不一定是θ，②错；BM＝DM＝，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cos＝·cos，所以线段MN的最大值是，最小值是，③正确；当θ＝时，过C作CE∥AD，连接DE(如图9(2))，且DE∥AC，则∠BCE(或补角)即为两直线的夹角，BM⊥DM，BM＝DM＝，BD²＝，又DE∥AC，则DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE²＝+1＝，cosBCE＝＝－≠0，所以④错．

图9

答案：①③

15．如图7，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面成60°的二面角，则AB与平面BCD所成角的大小为________．

图7

解析：作AE⊥BD，连结CE，则CE⊥BD，∠AEC＝60°.

作AO⊥EC，则AO⊥面BCD，

连结BO，∠ABO即为AB与面BCD所成的角．

设AB＝a，则AE＝a，AO＝AEsin60°＝a×＝a.∴sin∠ABO＝＝.

∴∠ABO＝arcsin.

答案：arcsin

14．设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B－OA－C内的这部分球面的面积是__________．

解析：如图6所示．

图6

∵A与B，A与C的球面距离都为，

∴OA⊥OB，OA⊥OC.

从而∠BOC为二面角B－OA－C的平面角．

又∵B与C的球面距离为，

∴∠BOC＝.

这样球O在二面角B－OA－C的部分球面的面积等于×4πR²＝R².

答案：R²

13．(2010·郑州一检)下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是__________(把正确的命题序号全部填在横线上)．

解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．

答案：③④

12．(2010·南昌一调)如图5，在棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A-A′D′-B′所围成的几何体的体积为

(　)

图5

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　　　 D.

解析：依题意可知|FP|＝|MN|＝1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是×(π×1³)＝π，选C.

答案：C

11．(2009·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

图4

　(　)

A．南　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．北

C．西　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．下

解析：将展开图还原成原来的正方体可知选B.

答案：B

10．(2010·江西五校联考)如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于

(　)

图3

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意可知，折起后平面ABC⊥平面BCD，又∵DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AD，AD∩DC＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∴∠CAD即为二面角C-AB-D的平面角θ，在直角三角形ACD中，易求得

sinθ＝，故选C.

答案：C

9．(2010·保定调研)在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为

(　)

A．arccos　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．45°

C．arctan　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．arctan

解析：连接SF，则SF⊥平面ABC.连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EG∥SF，∴EG⊥平面ABC，∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角．

图2

设正四面体的边长为a，则AH＝a，且AF＝AH＝a；

在Rt△AGE中，AE＝，AG＝AF＝a，∠EGA＝90°，

∴EG＝＝a.

在Rt△EGF中，FG＝AF＝a，EG＝a，∠EGF＝90°，

∴tan∠EFG＝＝，∴∠EFG＝arctan，即EF与平面ABC所成的角为arctan，故选C.

答案：C

8．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意易知∠ABC₁即为AD与BC₁所成的角，解△ABC₁，得余弦为.

答案：D