15．过双曲线x²－y²＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为__________．

解析：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵|FP|＝ex₁－a，|FQ|＝ex₂－a，

|FP|·|FQ|＝(ex₁－a)(ex₂－a)

＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a².

k_PQ＝tan105°＝－(2+)．

直线PQ的方程为y＝－(2+)(x－2)．

由得

x₁+x₂＝，

x₁x₂＝.

∴|FP|·|FQ|＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a²

＝2×－2×+4

＝.

答案：

14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________．

图4

解析：如图4所示，由题意

M(－c，)，MF＝FB，

即＝c+a.①

∵b²＝c²－a²，

由①整理得c²－ac－2a²＝0，即

(c+a)(c－2a)＝0.

∴c＝－a(舍)或c＝2a.

∴e＝＝2.

答案：2

13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是__________．

解析：设椭圆标准方程为+＝1(a>b>0)，

由题意知＝2，即a＝2b，且c＝2，由a²＝b²+c²，解得

∴椭圆的标准方程为+＝1.

答案：+＝1

12．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)²+y²＝1和(x－5)²+y²＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．7

C．8　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．9

图3

解析：由于两圆心恰好为双曲线的焦点，

|PM|≤|PF₁|+r₁＝|PF₁|+1，

|PN|≥|PF₂|－r₂＝|PF₂|－2，

∴|PM|－|PN|

≤|PF₁|+1－(|PF₂|－2)

＝|PF₁|－|PF₂|+3＝2a+3＝9.

答案：D

11．设椭圆+＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax²+bx－c＝0的两实根分别为x₁，x₂，则点P(x₁，x₂)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．必在圆x²+y²＝2内

B．必在圆x²+y²＝2上

C．必在圆x²+y²＝2外

D．以上情形都有可能

解析：∵e＝＝，∴a＝2c.

又∵a²＝b²+c²，∴b²＝a².

∵x₁+x₂＝－，x₁x₂＝，

∴x+x＝(x₁+x₂)²－2x₁x₂

＝+＝+2e＝+1＝<2.

答案：A

10．设O为坐标原点，F为抛物线y²＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(2，±2)　 　　　　　　　　　　　　 B．(1，±2)

C．(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2,2)

解析：设A(x₀，y₀)、F(1,0)，＝(x₀，y₀)，＝(1－x₀，－y₀)，·＝x₀(1－x₀)－y＝－4.

∵y＝4x₀，∴x₀－x－4x₀+4＝0⇒x+3x₀－4＝0，x₀＝1或x₀＝－4(舍去)．

∴x₀＝1，y₀＝±2.故选B.

答案：B

9．若抛物线y²＝2px的焦点与椭圆+＝1的右焦点重合，则p的值为　　　　 (　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．－4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

解析：椭圆的右焦点为F(2,0)，由题意＝2，

∴p＝4.

答案：D

8．若椭圆+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²＝2bx的焦点分成5?3的两段，则此椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2－　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.

图2

解析：由已知|F₁F|?|FF₂|＝5?3，其中|F₂F|＝|OF₂|－|OF|＝c－，

|FF₁|＝|OF₁|+|OF|＝c+.

∴＝.∴c＝2b.

又∵a²＝b²+c²＝b²+4b²＝5b²，∴a＝b.

∴e＝＝＝.

答案：D

7．已知抛物线y²＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d₁，到直线3x－4y+9＝0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：根据抛物线的定义可知d₁等于点P到焦点的距离，故d₁+d₂的最小值即为抛物线上的点到焦点的距离和到直线的距离之和的最小值，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d₁+d₂最小．故(d₁+d₂)_min＝.

答案：A

6．(2010·吉林白山模拟)F₁，F₂是椭圆C：+＝1的两个焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

解析：由+＝1，得a＝2，b＝2，c＝2.

∵b＝c＝2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．

∴PF₁⊥PF₂的点P的个数为2.

答案：C