1．设{a_n}是公比为正数的等比数列，若a₁＝1，a₅＝16，则数列{a_n}前7项的和为(　)

A．63　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．64

C．127　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．128

解析：∵公比q⁴＝＝16，且q>0，

∴q＝2，∴S₇＝＝127，故选C.

答案：C

13．(20分)(2010·福建厦门一模)已知数列{a_n}，a₁＝1，a_n＝λa_n－1+λ－2(n≥2)．

(1)当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；

(2)若λ＝3，令b_n＝a_n+，求数列{b_n}的前n项和S_n.

解：(1)a₂＝λa₁+λ－2＝2λ－2；

a₃＝λa₂+λ－2＝2λ²－2λ+λ－2＝2λ²－λ－2.

∵a₁+a₃＝2a₂，∴1+2λ²－λ－2＝2(2λ－2)．

∴2λ²－5λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝.

当λ＝时，a₂＝2×－2＝1，a₁＝a₂不合题意，舍去；

当λ＝1时，代入a_n＝λa_n－1+λ－2，可得a_n－a_n－1＝－1.

∴数列{a_n}构成以a₁＝1为首项，公差为－1的等差数列．

∴a_n＝－n+2.

(2)由λ＝3可得，a_n＝3a_n－1+3－2，即a_n＝3a_n－1+1.

∴a_n+＝3a_n－1+.

∴a_n+＝3(a_n－1+)，即b_n＝3b_n－1(n≥2)．

又b₁＝a₁+＝，

∴数列{b_n}构成以b₁＝为首项，公比为3的等比数列．

∴S_n＝＝(3ⁿ－1)．

12．(15分)在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝2a_n+2ⁿ.

(1)设b_n＝，证明数列{b_n}是等差数列；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

解：(1)证明：a_n+1＝2a_n+2ⁿ，＝+1，

b_n+1＝b_n+1，

又b₁＝a₁＝1，因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知＝n，即a_n＝n·2^n－1，S_n＝1·2⁰+2·2¹+…+(n－1)·2^n－2+n·2^n－1，

2S_n＝1·2¹+2·2²+…+(n－1)·2^n－1+n·2ⁿ.

两式相减，得S_n＝n·2ⁿ－2⁰－2¹－…－2^n－1＝n·2ⁿ－2ⁿ+1＝(n－1)2ⁿ+1.

11．(15分)已知{a_n}是等差数列，a₂＝5，a₅＝14，

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)当{a_n}的前n项和S_n＝155，求n的值．

解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁.

则a₁+d＝5，a₁+4d＝14，

解得a₁＝2，d＝3.

所以数列{a_n}的通项为a_n＝a₁+(n－1)d＝3n－1.

(2)数列{a_n}的前n项和S_n＝＝n²+n.

由n²+n＝155，化简得3n²+n－310＝0.

即(3n+31)(n－10)＝0；

所以n＝10.

10．把49个数排成如下图所示的数表，若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a₄₄＝1，则表中所有数的和为__________．

解析：解法1：a₁₁+a₁₂+…+a₁₇＝7a₁₄，

同理a₂₁+a₂₂+…+a₂₇＝7a₂₄，

…

a₇₁+a₇₂+…+a₇₇＝7a₇₄，

而a₁₄+a₂₄+…+a₇₄＝7a₄₄，

故所有数的和为7(a₁₄+a₂₄+…+a₇₄)＝49a₄₄＝49.

解法2：由题意分析，不妨设各个格中的数都为1，则符合题意要求，所以表中所有数的之和为49.

答案：49

9．(2008·山东高考)已知f(3^x)＝4xlog₂3+233，则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(2⁸)的值等于__________．

解析：∵f(3^x)＝4xlog₂3+233，

∴f(3^x)＝4log₂3^x+233.

∴f(x)＝4log₂x+233.而f(2ⁿ)＝4log₂2ⁿ+233＝4n+233，

∴f(2)+f(4)+…+f(2⁸)＝(4×1+233)+(4×2+233)+…+(4×8+233)＝4×(1+2+…+8)+233×8＝2008.

答案：2008

8．(2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n.若a₅＝5a₃，则＝__________.

解析：＝＝·＝×5＝9.

答案：9

7．已知等差数列{a_n}共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a₁₀₀₄＝__________.

解析：依题意得＝2010，a₁+a₂₀₀₈＝，＝2，a₂+a₂₀₀₈＝，故a₂－a₁＝－＝d，

又a₂+a₂₀₀₈＝2a₁₀₀₅＝，∴a₁₀₀₅＝，

a₁₀₀₄＝a₁₀₀₅－d＝+＝2.

答案：2

6．设{a_n}是公差为正数的等差数列，若a₁+a₂+a₃＝15，a₁a₂a₃＝80，则a₁₁+a₁₂+a₁₃＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．120　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．105

C．90　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．75

解析：设公差为d且d>0.

由已知，

得.

解得a₁＝2，d＝3(∵d>0)．

∴a₁₁+a₁₂+a₁₃＝3a₁₂＝3(a₁+11d)＝105.

答案：B

5．(2009·安徽高考)已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅＝105，a₂+a₄+a₆＝99.以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．21　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．20

C．19　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．18

解析：∵{a_n}为等差数列，

∴a₁+a₃+a₅＝105⇒a₃＝35，

a₂+a₄+a₆＝99⇒a₄＝33，

d＝a₄－a₃＝33－35＝－2，

∴{a_n}是递减数列．

a_n＝a₃+(n－3)d＝35+(n－3)×(－2)＝－2n+41，

a_n≥0，－2n+41≥0，n≤，

∴当n≤20时，a_n>0，

∴n＝20时，S_n最大，故选B.

答案：B