12．(15分)设函数f(x)＝2^x－1有反函数f^－1(x)，g(x)＝log₄(3x+1)，

(1)若f^－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；

(2)设H(x)＝g(x)－f^－1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域及它的反函数H^－1(x)．

解：(1)∵f(x)＝2^x－1的定义域是R，值域是(－1，+∞)．由y＝2^x－1解得x＝log₂(y+1)(y>－1)，

∴f^－1(x)＝log₂(x+1)(x>－1)，于是f^－1(x)≤g(x)即为log₂(x+1)≤log₄(3x+1)，即

∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．

(2)H(x)＝g(x)－f^－1(x)＝log₄(3x+1)－log₂(x+1)

＝log₂＝log₂(3－)．

∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.

∴0≤log₂(3－)≤.

∴H(x)的值域为[0，]．

由y＝log₂(3－)得3－＝2^2y，

∴＝3－4^y，x+1＝，x＝，y∈[0，]．

∴H^－1(x)＝(x∈[0，])．

11．(15分)求y＝lg(x－)的反函数．

解：由x－>0，得x>，

∴　∴x≥2.

∴lg(x－)＝lg≤lg＝lg2.

由y＝lg(x－)．得

x－＝10^y，＝x－10^y.

∴x²－4＝x²－2·10^yx+10^2y.

∴x＝(4·10^－y+10^y)．

故f^－1(x)＝(10^x+4·10^－x)，x∈(－∞，lg2]．

10．(2009·重庆二次调研)若函数f(x)＝log₂(4^x－2)，则方程f^－1(x)＝x的解是__________．

解析：由f^－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log₂(4^x－2)，即2^x＝4^x－2，∴2^x＝2.∴x＝1.

答案：x＝1

9．已知函数f(x)＝的反函数f^－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a的值为__________．

解析：因为f^－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，则f(x)的图象可由g(x)＝－的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a+1＝3，即a＝2.

答案：2

8．(2009·成都一诊)设函数f(x)＝e^2(x－1)，y＝f^－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，

则g[g(－1)]＝__________.

解析：依题意得g(－1)＝－1+2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f^－1(1)．设f^－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e^2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.

答案：1

7．函数y＝(x>1)的反函数是__________．

解析：依题意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函数y＝(x>1)的反函数是y＝(x>1)．

答案：y＝(x>1)

6．(2010·唐山一模)函数y＝(x≤1且x∈R)的图象与其反函数图象的交点共有(　)

A．1个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4个

解析：求其反函数为y＝1－x²(x≥0)，由，判断其解的个数即可．

答案：C

5．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(e^x+e^x－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f^－1(x)，则有　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．f^－1()<f^－1()　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f^－1()>f^－1()

C．f^－1()<f^－1(2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f^－1()>f^－1(2)

解析：∵函数f(x)＝(e^x+e^x－2)＝·e^x是一个单调递增函数，∴f^－1(x)在(0，+∞)上也是单调递增函数．

又∵x<1，∴f(x)＝·e^x<·e＝.

－2＝＝，

∵2<e<3，∴0<e－2<1，∴(e－2)²－3<0，∴<2；－＝＝，

∵2.7<e<2.8，∴1.2<e－<1.3，

∴(e－)²－>0，∴>，∴<<2.

∴在x<1时，函数f(x)＝(e^x+e^x－2)的值域为

(0，)，其中<<2，故选A.　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

答案：A

4．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3^x，则f^－1(－)的值是(　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．－　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－3^－x，令f(x)＝－，可解得x＝2，即f^－1(－)＝2.

答案：B

3．函数y＝ln，x∈(1，+∞)的反函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝，x∈(0，+∞)

B．y＝，x∈(0，+∞)

C．y＝，x∈(－∞，0)

D．y＝，x∈(－∞，0)

解析：由y＝ln得x＝，∵x>1，

∴>1，∴>0，e^y>1，∴y>0，

因此y＝ln的反函数为y＝，x∈(0，+∞)．　　 www.k@s@5@　　　　 　　　　　　　　　　高#考#资#源#网

答案：B