13．(20分)(2010·衡水模拟)已知集合P＝[，2]，函数y＝log₂(ax²－2x+2)的定义域为Q.

(1)若P∩Q≠Ø，求实数a的取值范围；

(2)若方程log₂(ax²－2x+2)＝2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．

解：(1)若P∩Q≠Ø，则在x∈[，2]内，至少有一个值x使得ax²－2x+2>0成立，

即在x∈[，2]内，至少有一个值x使得a>+成立．

设μ＝－+＝－2(－)²+，

当x∈[，2]时，μ∈[－4，]．∴a>－4.

所以实数a的取值范围是{a|a>－4}．

(2)方程log₂(ax²－2x+2)＝2在[，2]内有解，

则ax²－2x－2＝0在[，2]内有解．

即在x∈[，2]内有值x使得a＝+成立，

μ＝+＝2(+)²－.

当x∈[，2]时，μ∈[，12]，∴a∈[，12]．

所以实数a的取值范围为a∈[，12]．

12．(15分)已知函数f(x)＝3^x+k(k为常数)，A(－2k,2)是函数y＝f^－1(x)图象上的点．

(1)求实数k的值及函数f^－1(x)的解析式；

(2)将y＝f^－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)的图象，若2f^－1(x+－3)－g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围．

解：(1)∵A(－2k,2)是函数y＝f^－1(x)图象上的点，

∴B(2，－2k)是函数y＝f(x)上的点．

∴－2k＝3²+k，∴k＝－3，∴f(x)＝3^x－3.

∴y＝f^－1(x)＝log₃(x+3)(x>－3)．

(2)将y＝f^－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)＝log₃x(x>0)，

要使2f^－1(x+－3)－g(x)≥1恒成立，

即使2log₃(x+)－log₃x≥1恒成立．

∴有x++2≥3在x>0时恒成立，

只要(x++2)_min≥3.

又x+≥2(当且仅当x＝，即x＝时等号成立)，∴(x++2)_min＝4，

即4≥3.∵m≥.

∴实数m的取值范围为[，+∞)．

11．(15分)设P：关于x的不等式2^|x|<a的解集为Ø，Q：函数y＝lg(ax²－x+a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．

解：P：∵2^|x|≥1，且不等式2^|x|<a的解集为Ø，∴a≤1.

Q：ax²－x+a>0恒成立．

①若a＝0，则－x>0(不符合题意，舍去)；

②若a≠0，则⇒a>.

∵P和Q有且仅有一个正确，∴P真Q假或者P假Q真．

若P真Q假，则a≤；　　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

若P假Q真，则a>1.

综上可得，所求a的取值范围为(－∞，]∪(1，+∞)．

10．(2009·南昌调研)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝a^x(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称，记g(x)＝f(x)[f(x)+f(2)－1]．若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．

解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解．

由已知条件切入，g(x)＝log_ax(log_ax+log_a2－1)＝(log_ax)²+(log_a2－1)log_ax.

①当0<a<1时，y＝u＝log_ax为减函数，则g(u)＝u²+(log_a2－1)u在[log_a2，log_a]上也为减函数，于是有－≥log_a⇒0<a≤.

②当a>1时，y＝u＝log_ax为增函数，则g(u)＝u²+(log_a2－1)u在[log_a，log_a2]上也为增函数，于是有－≤log_a⇒a∈Ø，由①②得a∈(0，]．

答案：(0，]

9．已知x满足2^x≤256，且log₂x≥，则函数f(x)＝log₂·log的最大值和最小值分别为________、__________.

解析：∵2^x≤256，且log₂x≥，

∴≤x≤8，∴≤log₂x≤3，

∴f(x)＝(log₂x－1)(log₂x－2)

＝(log₂x)²－3log₂x+2

＝(log₂x－)²－，

∵≤log₂x≤3，而<<3，

∴当log₂x＝，即x＝2时，

f(x)取得最小值为－；

当log₂x＝3，即x＝8时，f(x)取得最大值为2.

答案：2　－

8．设a>0，a≠1，函数f(x)＝log_a(x²－2x+3)有最小值，则不等式log_a(x－1)>0的解集为__________．

解析：∵x²－2x+3＝(x－1)²+2>0恒成立．

y＝x²－2x+3开口向上有最小值．

∴a>1，∴log_a(x－1)>log_a1，

等价于，∴x>2.

∴不等式的解集{x|x>2}．

答案：{x|x>2}

7．方程log₃(x²－10)＝1+log₃x的解是__________．

解析：log₃(x²－10)＝log₃3x，

∴，解得x＝5或x＝－2(舍去)．　　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

答案：x＝5

6．函数f(x)＝log_a(x²－ax+2)在区间(1，+∞)上恒为正值，则实数a的取值范围为(　)

A．(1,2)　 　　　　　　　　　　　　B．(1,2]

C．(0,1)∪(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　　 D．(1，)

解析：当a>1时，x²－ax+2>1，即x²－ax+1>0在x∈(1，+∞)上恒成立∴1－a+1≥0∴a≤2.∴1<a≤2；当0<a<1时，0<x²－ax+2≤1，即x²－ax+2>0且x²－ax+1≤0在x∈(1，+∞)上恒成立，无解．综上，1<a≤2，故选B.

答案：B

5．(2009·湖南高考)若log₂a<0，()^b>1，则(　)

A．a>1，b>0　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a>1，b<0

C．0<a<1，b>0　 　　　　　　　　　　　　　　 D．0<a<1，b<0

解析：由log₂a<0⇒0<a<1，由^b>1⇒b<0，故选D.

答案：D

4．(2009·全国卷Ⅱ)设a＝log₃π，b＝log₂，c＝log₃，则　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a>b>c　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a>c>b

C．b>a>c　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．b>c>a

解析：a＝log₃π>1，b＝log₂＝log₂3∈，c＝log₃＝log₃2∈，故有a>b>c.

答案：A