2．若a<0<b,则在不等式：①　，②，③|a|>|b|,④中不能成立的是_________________________

1．“”是“且”的 ______________________条件 　　

2.前n行共有个“合格数”数.

题目已经暗示：2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的

第n行,那么：,即

最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第个,其值为,这是个奇数.

据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.

(三)抽丝剥茧,水落石出

[题3](2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列满足：

且,则图3中第5行所有数的和是(　　　　 )

A.62　　　 B.64　　　 C.32　　　　 D.34

[分析]求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由

递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.

如果不作,这道题很难.

[解析]第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,

且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.

由

第二步,由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是：.

第三步,我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：

已知∴这个数列的通项公式为(n=1也适合)

于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是：

故选A.

(四)瞒天过海 暗云飞渡

[题4](武汉二月调考.15题)已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点，若∠PFA=λ∠FAP,则λ的值为

[分析]无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之.

[解析]如图4，取图形的特殊位置,使PF⊥AF.

由条件知有A(-a,0),F(2a,0).在双曲线方程中令x=2a,有：

.得P(2a,3a).

在直角三角形AFP中，∴∠PAF=45°，而

∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.

[说明](1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置

有所限制，这意味着λ的取值与点P的具体位置无关，也就是

λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.

(2)本题源于如下轨迹题：已知定点A(-a,0),F(2a,0).

一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹.

[解析]如图4--2，设∠PAF=α，则∠PFA=2α.

.由正切的二倍角公式：

所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).

(五)他山之石 可以攻玉

[题5](2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为(　　　　　 )

A.8　　　　　　　 B.10　　　　　　　 C.12　　　　　　　　 D.

[分析1]本题是名副其实的“不小的小题”，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”

[解析1]如图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2,ON=1.

设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

于是△OAB的周长

于是，故选B.

[说明]进一步研究：当且仅当，即时等式成立.此时.于是，满足OA+AB+OB=10.

[分析2]在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：

[解析2]首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.

如图2，设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则.令即

(舍)，或.于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

本题还可以用导数法求解,这里从略.

(六)避实击虚 反客为主

[题6](2007.北京海淀区高三数学期中试题8)：已知函数

.若实数使得有实根，则的最小值为()

(A)　　 (B)　　 (C)1　　 (D)2

[分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

[解解析]将改写为：.

令

在直角坐标系aOb中，设为直线(1)上一点，则.

又设原点到直线(1)的距离为，那么

再令上增，故

.也就是的最小值为，选(A)

(七)擒贼擒王 解题寻根

[题7](2005.湖北卷.6题)：在这四个函数中，

当恒成立的函数的个数是(　　　 )

A，0　　　　　　　　 B，1　　　　　　　　　 C，2　　　　　　 　　D，3

[分析]虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生.即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数，如果逐一探究，哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢？

原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式，这就是本题的“根”.

[解析]解本题应先掌握凸，凹函数的性质，

如图6-1，曲线在弦AB的上方，我们

称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点

A，B，作

有　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

那么

　　 ，如图 6-2，曲线在弦AB的下方，我们称它是下凹的函 数，同理，由，又说明下凹函数有性质：

以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系.

题中的四个函数， 所以在(0，1)内，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，这就是说，在(0，1)内，使式子

恒成立的函数只有一个。∴选B。(参看图7，1-4)

。

后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题：对于函数，有如下结论：①　 ②　 ③　 ④

当时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③，它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. ，

(八)惜墨如金 小题小作

[题8](2005.全国2卷.12题)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为(　　　　 )

A 　　　　　　　B 　　　　　　　C 　　　　　　　D

[说明]对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：

[解析]正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O₁到

另三个小球球心所在平面O₂O₃O₄的距离(如图7--1)。

O₁O₂=O₂O₃=O₃O₄=O₄O₁=2　 O₂E=　 O₂O=　 ∴OO₁=

然后再求出最上面的小球的球心O₁到正四面体的顶点A的距离AO₁，(如图7--2)

设AB=x　 则BO^，=　 ∴O^’A=　 ∴O₁A=-1=O₁B

∵AO^，⊥O^，B　　 ∴O₁B²=O^，O₁²+O^，B²　　　 ∴(-1)²=1²+

∵-+1=1+　 ∴-=0　 ∵x≠O　 ∴x=

∴O^，A=×=4　　　 ∴O₁A=3　　　　

由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，∴正四面体的高

的最小值为 3+1+=4+

以上是正文。原文还有点评，这里从略。

就本题而言，以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里，花这么

大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.

[解1]为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：

其一，这4个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2·=；

其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径)；

其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍)，因此 ，这个正四面体的高

的最小值为，∴选C。

[解2]我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球心正四面体”.

“球心正四面体”与“容器正四面体”是同“中心”的相似体，相似中心就是这个共同的“中心”.

既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线，那么，还是这个公共的中心应以1∶3

的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径，那么，对应

的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个

小球半径.因而C 是最合理的答案.

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1.第n行的最后1个数字是；

21、(14分)一个布袋里有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个，并待放回后再抽下一次，求：

(1)每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率；

　 (2)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球同色的概率；

　 (3)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球是红球的概率。

20、(12分)已知A={x|1<log₂x<3，x∈N}，B={x||x-6|<3，x∈N}

　 (1)从集A及B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

　 (2)从A∪B中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数共有多少个？

　 (3)从集A中取一个元素，从B中取三个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数。

19、(12分)掷三颗骰子，试求：

(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

(2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

18、(12分)设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内

(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

　 (3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

17、(12分)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的第四项；

(2)求展开式的常数项；

(3)求展开式中各项的系数和。

16、5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的调整方法？________________。