12．(15分)已知圆x²+y²+x－6y+m＝0和直线x+2y－3＝0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值．

解：设点P、Q的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)．由OP⊥OQ得k_OP·k_OQ＝－1，

即·＝－1，x₁x₂+y₁y₂＝0　　　　 　　　　　①

又(x₁，y₁)，(x₂，y₂)是方程组

的实数解，

即x₁、x₂是方程5x²+10x+4m－27＝0的两个根②

∴x₁+x₂＝－2，x₁x₂＝　　　　　　　　 ③

∵P、Q在直线x+2y－3＝0上，

∴y₁y₂＝(3－x₁)·(3－x₂)

＝[9－3(x₁+x₂)+x₁x₂]．

将③代入，得y₁y₂＝　　　　　　　　　 ④

将③④代入①，解得m＝3，代入方程②，检验Δ>0成立，∴m＝3.

图4

11．(15分)已知圆C同时满足下列三个条件．

①与y轴相切；www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　 　　高#考#资#源#网

②在直线y＝x上截得弦长为2；

③圆心在直线x－3y＝0上，求圆C的方程．

解：设所求的圆C与直线y＝x交于A、B，

∵圆心C在直线x－3y＝0上，∴设圆心为C(3a，a)，

∵圆与y轴相切，∴R＝3|a|.

而圆心C到直线x－y＝0的距离

|CD|＝＝|a|.

又∵|AB|＝2，|BD|＝，

在Rt△CBD中，R²－|CD|²＝()²，

∴9a²－2a²＝7，a²＝1，a＝±1,3a＝±3，

∴圆心的坐标C为(3,1)或(－3，－1)，故所求圆的方程为(x－3)²+(y－1)²＝9或(x+3)²+(y+1)²＝9.

10．已知圆C₁：x²+y²＝9，圆C₂：(x－4)²+(y－6)²＝1，两圆的外公切线交于P₂点，内公切线交于P₁点，若＝λ，则λ等于__________．

解析：如图3：设||＝y，||＝x，||＝l，

又圆C₁的半径R＝3，圆C₂的半径r＝1，

由平面几何性质可得＝＝⇒x＝l，

＝＝⇒y＝l.

λ＝－＝－＝－.

图3

答案：－

9．如图1，A、B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是__________．

解析：如图2，当圆O₁与圆O₂外切于点C时，S最大，此时，

图2

两圆半径为1，S等于矩形ABO₂O₁的面积减去两扇形面积，

∴S_max＝2×1－2×(×π×1²)＝2－.

随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，

当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈(0,2－]．

答案：(0,2－]

8．已知圆C的圆心与抛物线y²＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．

解析：y²＝4x，焦点F(1,0)，

∴圆心O(0,1)．

O到4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则圆半径r满足r²＝1²+3²＝10，∴圆方程为x²+(y－1)²＝10.

答案：x²+(y－1)²＝10

图1

7．直线l与圆x²+y²+2x－4y+a＝0(a<3)相交于两点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为__________．

解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，k_PQ＝＝－1，∴直线l的斜率k＝1，

故y－1＝1(x－0)，即x－y+1＝0.

答案：x－y+1＝0 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

6．若直线+＝1通过点M(cosα，sinα)，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a²+b²≤1　 　　　　　　　　　　　　 B．a²+b²≥1

C.+≤1　 　　　　　　　　　　　　　　 D.+≥1

解析：∵点M(cosα，sinα)的轨迹方程为x²+y²＝1，由题意知直线+＝1与圆x²+y²＝1有公共点，得圆心到直线的距离≤1，∴+≥1.故选D.

答案：D

5．能够使得圆x²+y²－2x+4y+1＝0上恰有两个点到直线2x+y+c＝0距离等于1的c的一个值为　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：圆的标准方程为(x－1)²+(y+2)²＝4，圆心为

(1，－2)，半径为2.根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线的距离为1，经验证，c＝3时，圆心到直线2x+y+3＝0的距离为，满足1<<3.因此c＝3满足题意．

答案：C

4．若直线2ax－by+2＝0(a，b∈R)始终平分圆x²+y²+2x－4y+1＝0的周长，则ab的取值范围是　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 (　)

A．(－∞，]　 　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，)

C．(，+∞)　 　　　　　　　　　　　　 D．[，+∞)

解析：圆心(－1,2)，∵直线平分圆的周长，∴直线必过圆心，将(－1,2)代入直线方程得a+b＝1，ab≤()²＝.

答案：A

3．过点(－4,0)作直线l与圆x²+y²+2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则l的方程为　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．5x+12y+20＝0

B．5x+12y+20＝0或x+4＝0

C．5x－12y+20＝0

D．5x－12y+20＝0或x+4＝0

解析：圆的标准方程为(x+1)²+(y－2)²＝25，若|AB|＝8，只需保证圆心(－1,2)到直线l的距离等于3，过点(－4,0)的直线方程为y＝k(x+4)和x＝－4，显然x＝－4与(－1,2)的距离为3满足题意；

而＝3，得k＝－，www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

从而直线方程为5x+12y+20＝0.

答案：B