7．已知x，y∈R⁺，且x+4y＝1，则x·y的最大值为__________．

解析：xy＝x·4y≤()²＝，

当且仅当x＝4y＝时取等号．

答案：

6．(2010·湖北宜昌)设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)＝(，x，y)，则+的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．18　 　　　　　　　　　　　　　　 B．16

C．9　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

解析：由·＝2及∠BAC＝30°可计算出△ABC的面积为1，而由已知条件可知x+y+＝1，从而可得x+y＝，进一步可求出+的最小值为18，故应选择A.

答案：A

5．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是3^a与3^b的等比中项，则+的最小值为(　)

A．8　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：是3^a与3^b的等比中项⇒3^a·3^b＝3⇒3^a+b＝3⇒a+b＝1，

∵a>0，b>0，∴≤＝⇒ab≤.

∴+＝＝≥＝4.

答案：B

4．当a≥0，b≥0，且a+b＝2，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．ab≤　 　　　　　　　　　　　　 B．ab≥

C．a²+b²≥2　 　　　　　　　　　 D．a²+b²≤3

解析：∵a≥0，b≥0，且a+b＝2，∴4＝(a+b)²＝a²+b²+2ab≤2(a²+b²)，即a²+b²≥2.

答案：C

3．“a＝”是“对任意的正数x,2x+≥1”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．充分不必要条件　 　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析：a＝⇒2x+＝2x+≥2＝1，另一方面对任意正数x,2x+≥1成立，只要2x+≥2＝2≥1，解得a≥.

答案：A

2．已知p＝a+，q＝()^x2－2，其中a>2, x∈R，则p，q的大小关系为 (　)

A．p≥q　 　　　　　　　　　　　　　 B．p>q

C．p<q　 　　　　　　　　　　 　　　 D．p≤q

解析：p＝a+＝(a－2)++2≥2+2＝4，当且仅当a＝3时，取得等号；而由于x²－2≥－2，故q＝()^x2－2≤()^－2＝4，当且仅当x＝0时，取得等号，故p≥q.

答案：A

1．设a>0，b>0，下列不等式中不成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.+≥2　　　　　　　　 B．a²+b²≥2ab

C.+≥a+b　 　　　　　　　 D. + ≥2+

解析：由>0且>0，

得+≥2＝2，

所以A成立，B显然成立．

不等式C可变形为a³+b³≥a²b+ab²⇔(a²－b²)(a－b)≥0⇔(a－b)²(a+b)≥0，所以C成立．

答案：D

13．(20分)已知f(x)＝x²+ax+b(a，b∈R)，当x∈[－1,1]时，|f(x)|的最大值为M，求M的最小值．

解：由已知，得即

∴4M≥2|f(0)|+|f(1)|+|f(－1)|

≥|f(1)+f(－1)－2f(0)|

＝|1+a+b+1－a+b－2b|＝2，即M≥.

又a＝0，b＝－时，f(x)＝x²－，

M＝_max＝，x∈[－1,1]．

∴M的最小值为.

12．(15分)已知函数f(x)＝x³+ax+b定义在区间[－1,1]上，且f(0)＝f(1)，又P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是其图象上任意两点(x₁≠x₂)．

(1)设直线PQ的斜率为k，求证：|k|<2；

(2)若0≤x₁<x₂≤1，求证：|y₁－y₂|<1.

证明：(1)∵f(0)＝f(1)，∴b＝1+a+b，

∴a＝－1，于是f(x)＝x³－x+b，　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

k＝＝[(x－x₂+b)－(x－x₁+b)]

＝[(x－x)－(x₂－x₁)]＝x+x₁x₂+x－1.

∵x₁，x₂∈[－1,1]，且x₁≠x₂，

∴x+x₁x₂+x>0，x+x₁x₂+x<3，

即0<x+x₁x₂+x<3，

∴－1<x+x₁x₂+x－1<2，

|x+x₁x₂+x－1|<2，即|k|<2.

(2)∵0≤x₁<x₂≤1，

由(1)知|y₂－y₁|<2|x₂－x₁|＝2(x₂－x₁)①

又|y₂－y₁|＝|f(x₁)－f(x₂)|

＝|f(x₁)－f(0)+f(1)－f(x₂)|

≤|f(x₁)－f(0)|+|f(1)－f(x₂)|

<2|x₁－0|+2|1－x₂|

＝2(x₁－x₂)+2　　　　　　　　　 ②

①+②，得2|y₁－y₂|<2，即|y₁－y₂|<1.

11．(15分)已知|a|<1，|b|<1，求证：||>1.

证明：|1－ab|²－|a－b|²＝1－2ab+a²b²－a²+2ab－b²＝(1－a²)+b²(a²－1)＝(a²－1)(b²－1)，

∵|a|<1，|b|<1，∴a²<1且b²<1.

∴(a²－1)(b²－1)>0，故|1－ab|²>|a－b|²，

∴|1－ab|>|a－b|，故>1，

即||>1成立．