5．(2009·河南郑州一模)数列{a_n}中，a₁＝1，a_n，a_n+1是方程x²－(2n+1)x+＝0的两个根，则数列{b_n}的前n项和S_n等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：∵a_n，a_n+1是方程x²－(2n+1)x+＝0的两个根，

∴a_n+a_n+1＝2n+1，a_n·a_n+1＝.

∴b_n＝.

又a₁＝1，∴a₂＝2，a₃＝3，…，a_n＝n.

∴S_n＝b₁+b₂+…+b_n＝++…+

＝1－+－+…+－

＝1－＝.

答案：B

4．(2009·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a_n}的前20项的和为100，那么a₇·a₁₄的最大值为

(　)

A．25　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．50

C．100 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不存在

解析：由S₂₀＝100得a₁+a₂₀＝10，∴a₇+a₁₄＝10.

又a₇>0，a₁₄>0，

∴a₇·a₁₄≤()²＝25.

答案：A

3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是

(　)

A．1994　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1996

C．1998　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2000

解析：设出齐这套书的年份是x，

则(x－12)+(x－10)+(x－8)+…+x＝13958，

∴7x－＝13958，

x＝2000.

答案：D

2．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log_m(ab)<1，则m的取值范围是

(　)

A．(0,1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1，+∞)

C．(0,8)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(8，+∞)

解析：∵a，b，a+b成等差数列，

∴2b＝2a+b，b＝2a.①

∵a，b，ab成等比数列，

∴a≠0，b≠0，且b²＝a²b，b＝a².②

由①②知a²＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.

∵0<log_m(ab)＝log_m8<1，∴m>8.

答案：D

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－1，则此数列的奇数项的前n项和是

(　)

A.(2ⁿ⁺¹－1)　 　　　　　　　　　　　　　 B.(2ⁿ⁺¹－2)

C.(2²ⁿ－1)　 　　　　　　　　　　　　　　 D.(2²ⁿ－2)

解析：由S_n＝2ⁿ－1，得a_n＝2^n－1，

∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．

∴此数列的奇数项的前n项和为＝＝(2²ⁿ－1)．

答案：C

13．(20分)(2009·全国卷Ⅰ)在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝(1+)a_n+.

(1)设b_n＝，求数列{b_n}的通项公式；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

解：(1)由已知得b₁＝a₁＝1，且＝+，

即b_n+1＝b_n+，

从而b₂＝b₁+，

b₃＝b₂+，

…

b_n＝b_n－1+(n≥2)，

于是b_n＝b₁+++…+＝2－(n≥2)．

又b₁＝1，故所求数列{b_n}的通项公式为b_n＝2－.

(2)由(1)知a_n＝n(2－)＝2n－.

令T_n＝，则2T_n＝，

于是T_n＝2T_n－T_n＝－＝4－.

又(2k)＝n(n+1)，所以S_n＝n(n+1)+－4.

12．(15分)已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁＝2,2a_n＝1+a_na_n+1，b_n＝a_n－1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n＝S_2n－S_n.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)求证：T_n+1>T_n；

解：(1)由b_n＝a_n－1得a_n＝b_n+1，代入2a_n＝1+a_na_n+1，得2(b_n+1)＝1+(b_n+1)(b_n+1+1)，整理，得b_nb_n+1+b_n+1－b_n＝0，从而有－＝1，∵b₁＝a₁－1＝2－1＝1，

∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴＝n，即b_n＝.

(2)∵S_n＝1++…+，

∴T_n＝S_2n－S_n＝++…+，

T_n+1＝++…+++，

T_n+1－T_n＝+－>+－＝0，(∵2n+1<2n+2)

∴T_n+1>T_n.

11．(15分)求和：(1)++…+.

(2)+++…+.

解：(1)∵＝(－)

∴原式＝(1－)+(－)+…+(－)＝(1－+－+…+－)

＝(1－)＝.

(2)∵＝＝－

∴原式＝－+－+…+－

＝1－.

10．(2010·重庆质检二)设数列{a_n}为等差数列，{b_n}为公比大于1的等比数列，且a₁＝b₁＝2，a₂＝b₂，＝，令数列{c_n}满足c_n＝，则数列{c_n}的前n项和S_n等于________．

解析：设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q(q>1)，

∵＝，∴a₄＝b₃，∴2+3d＝2q²①，由a₂＝b₂，得：2+d＝2q②，

由①②得d＝2，q＝2，∴a_n＝2+(n－1)·2＝2n，b_n＝2·2^n－1＝2ⁿ.∴c_n＝＝n·2ⁿ，∴S_n＝c₁+c₂+…+c_n＝1·2+2·2²+…+n·2ⁿ③

∴2S_n＝1·2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹④，③－④得：－S_n＝2+(2²+2³+…+2ⁿ)－n·2ⁿ⁺¹＝－n·2ⁿ⁺¹＝(1－n)·2ⁿ⁺¹－2，

∴S_n＝(n－1)2ⁿ⁺¹+2.

答案：(n－1)2ⁿ⁺¹+2

9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝2^n－1+1，则a₁C+a₂C+a₃C+…+a_n+1C＝________.

解析：a₁C+a₂C+…+a_n+1C＝(2⁰+1)C+(2¹+1)C+(2²+1)C+…+(2ⁿ+1)C＝2⁰C+2¹C+2²C+…+2ⁿC+C+C+…+C＝(2+1)ⁿ+2ⁿ＝3ⁿ+2ⁿ.

答案：2ⁿ+3ⁿ