题目列表(包括答案和解析)
14.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.
答案:32
解析:令f ′(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2,
列表得:
x |
-3 |
(-3,-2) |
-2 |
(-2,2) |
2 |
(2,3) |
3 |
f ′(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
17 |
? |
极值24 |
? |
极值-8 |
? |
-1 |
可知M=24,m=-8,∴M-m=32.
13.(2009·武汉模拟)函数y=xln(-x)-1的单调减区间是________.
答案:(-,0)
12.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1.f ′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f ′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是 ( )
A.(,)
B.(-∞,)∪(3,+∞)
C.(,3)
D.(-∞,-3)
答案:C
解析:由y=f ′(x)的图象知,当x<0时,f ′(x)<0,函数f(x)是减函数;当x>0时,f ′(x)>0,函数f(x)是增函数;两正数a,b满足f(2a+b)<1,f(4)=1,
点(a,b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界),的意义为阴影部分的点与点A(-2,-2)连线的斜率,直线AB、AC的斜率分别为、3,则的取值范围是(,3),故选C.
11.(2010·河南省实验中学)若函数f(x)=的图象如图所示,则m的范围为 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,2)
C.(1,2) D.(0,2)
答案:C
解析:f ′(x)=
=
由图知m-2<0,且m>0,故0<m<2,
又>1,∴m>1,因此1<m<2,选C.
10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,其高应为 ( )
A.cm B.100cm
C.20cm D.cm
答案:A
解析:设高为h,则半径为,
体积V=πr2h=π(202-h2)·h
=-πh3+πh(0<h<20),
V′=-πh2+π.
令V′=0,得h=或h=-(舍去),
即当h=时,V为最大值.
9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
A.-1<a<2 B.-3<a<6
C.a<-3或a>6 D.a<-1或a>2
答案:C
解析:由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有f ′(x)=3x2+2ax+(a+6).
若f(x)有极大值和极小值,
则Δ=4a2-12(a+6)>0,
从而有a>6或a<-3,故选C.
8.已知f(x)=-x3-x,x∈[m,n],且f(m)·f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[m,n]上( )
A.至少有三个实根 B.至少有两个实根
C.有且只有一个实根 D.无实根
答案:C
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 ( )
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③ B.①②③
C.② D.①②
答案:D
解析:由f(x)>0⇒(2x-x2)ex>0⇒2x-x2>0⇒0<x<2,故①正确;
f ′(x)=ex(2-x2),由f ′(x)=0得x=±,
由f ′(x)<0得x>或x<-,
由f ′(x)>0得-<x<,
∴f(x)的单调减区间为(-∞,-),(,+∞).
单调增区间为(-,).
∴f(x)的极大值为f(),极小值为f(-),故②正确.
∵x<-时,f(x)<0恒成立.
∴f(x)无最小值,但有最大值f().
∴③不正确.
6.设y=8x2-lnx,则此函数在区间(0,)和(,1)内分别 ( )
A.单调递增,单调递减
B.单调递增,单调递增
C.单调递减,单调递增
D.单调递减,单调递减
答案:C
解析:y′=16x-.
当x∈(0,)时,y′<0,y=8x2-lnx为减函数;
当x∈(,1)时,y′>0,y=8x2-lnx为增函数.
5.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
( )
答案:D
解析:由题意知函数f(x),g(x)都为增函数,当x<x0时,由图象知f ′(x)>g′(x),即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度;当x>x0时,f ′(x)<g′(x),g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度,数形结合,选D.
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