2．设f(x)在x₀附近有定义，f(x₀)是f(x)的极大值，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．在x₀附近的左侧，f(x)＜f(x₀)；在x₀附近的右侧，f(x)>f(x₀)

B．在x₀附近的左侧，f(x)>f(x₀)；在x₀附近的右侧，f(x)<f(x₀)

C．在x₀附近的左侧，f(x)<f(x₀)；在x₀附近的右侧，f(x)<f(x₀)

D．在x₀附近的左侧，f(x)>f(x₀)；在x₀附近的右侧，f(x)>f(x₀)

答案：C

1．函数y＝f(x)在x＝x₀处的导数f ′(x₀)的几何意义是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．在点(x₀，f(x₀))处与y＝f(x)的曲线只有一个交点的直线的斜率

B．在点(x₀，f(x₀))处的切线与x轴的夹角的正切值

C．点(x₀，f(x₀))与点(0,0)的连线的斜率

D．在点(x₀，f(x₀))处的切线的倾斜角的正切值

答案：D

22．(2010·保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝+－1(a∈R)

(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)≤0在区间(0，e²]上恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函数f ′(x)＝，

∴k＝f ′(1)＝1－a，

又f(1)＝a－1，即切点坐标为(1，a－1)，

所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为：

y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x+2(a－1)．

(2) 结合(1)，令f ′(x)＝0得x＝e^1－a，由对数函数的单调性知：

当x∈(0，e^1－a)时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数；

当x∈(e^1－a，+∞)时，f ′(x)＜0，f(x)是减函数．

(ⅰ)当e^1－a＜e²时，a＞－1时，f(x)_max＝f(e^1－a)＝e^a－1－1，

令e^a－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，

(ⅱ)当e^1－a≥e²即a≤－1时，f(x)在(0，e²]上是增函数，

∴f(x)在(0，e²]上的最大值为f(e²)＝－1，

令－1≤0，解得a≤e²－2，即a≤－1，

综上可知，实数a的取值范围是a≤1.

21．(2009·天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x²+ax－2a²+3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．

命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．

解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x²e^x，f ′(x)＝(x²+2x)e^x，故f ′(1)＝3e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.

(2)f ′(x)＝[x²+(a+2)x－2a²+4a]e^x.

令f ′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.

由a≠知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论．

①若a＞，则－2a＜a－2，当x变化时，f ′(x)、 f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞－2a)，	－2 a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，+∞)
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，+∞)内是增函数，

在(－2a，a－2)内是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

②若a＜，则－2a＞a－2.当x变化时，f ′(x)、 f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，+∞)
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，+∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.(x＞0)

(1)函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；

(2)若当x＞0时，f(x)＞恒成立，求正整数k的最大值．

解析：(1)f ′(x)＝[－1－ln(x+1)]＝－[+ln(x+1)]．

由x＞0，x²＞0，＞0，ln(x+1)＞0，得f ′(x)＜0.

因此函数f(x)在区间(0，+∞)上是减函数．

(2)解法一：当x＞0时，f(x)＞恒成立，令x＝1有k＜2[1+ln2]．

又k为正整数．则k的最大值不大于3.

下面证明当k＝3时，f(x)＞(x＞0)恒成立．

即证明x＞0时(x+1)ln(x+1)+1－2x＞0恒成立．

令g(x)＝(x+1)ln(x+1)+1－2x，

则g′(x)＝ln(x+1)－1.

当x＞e－1时，g′(x)＞0；当0＜x＜e－1时，g′(x)＜0.

∴当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0.

∴当x＞0时，(x+1)ln(x+1)+1－2x＞0恒成立．

因此正整数k的最大值为3.

解法二：当x＞0时，f(x)＞恒成立．

即h(x)＝＞k对x＞0恒成立．

即h(x)(x＞0)的最小值大于k.

由h′(x)＝，记Φ(x)＝x－1－ln(x+1)．(x＞0)

则Φ′(x)＝＞0，

∴Φ(x)在(0，+∞)上连续递增．

又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，

∴Φ(x)＝0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a＝1+ln(a+1)，

由x＞a时，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a时，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：

h(x)(x＞0)的最小值为h(a)＝＝a+1∈(3,4)．

因此正整数k的最大值为3.

19．(本小题满分12分)设a＞0，函数f(x)＝x－a+a.

(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．

解析：(1)对函数f(x)求导数，得f ′(x)＝1－ .

要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f ′(x)＝1－≥0在(0,1]上恒成立，

即a≤＝在(0,1]上恒成立．

因为在(0,1]上单调递减，

所以在(0,1]上的最小值是.

注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，]．

(2)①当0＜a≤时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数，

此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)＝1+(1－)a.

②当a＞时，令f ′(x)＝1－＝0，

解得x＝∈(0,1)．

因为当0＜x＜时，f ′(x)＞0；

当＜x＜1时，f ′(x)＜0，

所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减．

此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f()＝a－.

综上所述，当0＜a≤时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1+(1－)a；

当a＞时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a－.

18．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝.

(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；

(2)求y＝f(x)的最大值；

(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．

解析：(1)∵f(x)定义域为(0，+∞)，∴f ′(x)＝

∵f()＝－e，又∵k＝f ′()＝2e²，

∴函数y＝f(x)的在x＝处的切线方程为：

y+e＝2e²(x－)，即y＝2e²x－3e.

(2)令f ′(x)＝0得x＝e.

∵当x∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，e)上为增函数，

当x∈(e，+∞)时，f ′(x)＜0，则在(e，+∞)上为减函数，

∴f_max(x)＝f(e)＝.

(3)∵a＞0，由(2)知：

F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减．

∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)_min＝min{F(a)，F(2a)}，

∵F(a)－F(2a)＝ln，

∴当0＜a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，f_min(x)＝F(a)＝lna.

当a＞2时，F(a)－F(2a)＞0，f(x)_min＝f(2a)＝ln2a.

17．(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)＝－ln(x+a)．

(1)当a＝，求函数f(x)的极大值和极小值；

(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围．

解析：(1)当a＝时，f ′(x)＝－，

令f ′(x)＝0，则x－2+＝0，∴x＝或，

当x∈[0，]时，f ′(x)>0，当x∈(，)，f ′(x)<0，

当x∈(，+∞)时，f ′(x)>0，

∴f(x)_极大值＝f()＝，f(x)_极小值＝f()＝－ln3.

(2)f ′(x)＝－，若f(x)为增函数，则当x∈[0，+∞)时，f ′(x)≥0恒成立，

∴≥，即x+a≥2，

即a≥2－x＝－(－1)²+1恒成立，

∴a≥1.

16．(2009·淮北模拟)已知函数f(x)的导数f ′(x)＝a(x+1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．

答案：(－1,0)

解析：结合二次函数图象知，

当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．

15．(2009·南京一调)已知函数f(x)＝ax－x⁴，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是________．

答案：

解析：f ′(x)＝a－4x³，x∈[，1]，由题意得≤a－4x³≤4，即4x³+≤a≤4x³+4在x∈[，1]上恒成立，求得≤a≤，则实数a的值是.