题目列表(包括答案和解析)
60. l1、l2是两条异面直线,直线m1、m2与l1、l2都相交,则m1、m2的位置关系是( )
A.异面或平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析:D
59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
解析:D
58. 已知异面直线与
所成的角为
,P为空间一定点,则过点P且与
,
所成的角均是
的直线有且只有( )
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析: 过空间一点P作∥
,
∥
,则由异面直线所成角的定义知:
与
的交角为
,过P与
,
成等角的直线与
,
亦成等角,设
,
确定平面
,
,
交角的平分线为
,则过
且与
垂直的平面(设为
)内的任一直线
与
,
成等角(证明从略),由上述结论知:
与
,
所成角大于或等于
与
,
所成角
,这样在
内
的两侧与
,
成
角的直线各有一条,共两条。在
,
相交的另一个角
内,同样可以作过
角平分线且与
垂直的平面
,由上述结论知,
内任一直线与
,
所成角大于或等于
,所以
内没有符合要求的直线,因此过P与
,
成
的直线有且只有2条,故选(B)
57. 三棱柱,平面
⊥平面OAB,
,且
,求异面直线
与
所成角的大小,(略去了该题的1问)
解析: 在平面内作
于C ,连
,
由平面平面AOB,
知,
AO⊥平面, ∴
,
又 , ∴ BC⊥平面
,
∴ 为
在平面
内的射影。
设与
所成角为
,
与
所成角为
,
则,
由题意易求得 ,
∴ ,
在矩形中易求得
与
所成角
的余弦值:
,
∴ ,
即与
所成角为
。
56.. 在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,
求异面直线AE与CF所成角的大小。
解析: 连接BF、EF,易证AD⊥平面BFC,
∴ EF为AE在平面BFC内的射影,
设AE与CF所成角为,
∴
,
设正四面体的棱长为,则
,
显然 EF⊥BC, ∴ ,
∴ ,
,
∴ , 即AE∴与CF所成角为
。
55. 已知平行六面体
的底面ABCD是菱形,且
,证明
。
(略去了该题的2,3问)
解析: 设在平面ABCD内射影为H,则CH为
在平面ABCD内的射影,
∴ ,
∴ ,
由题意 , ∴
。
又 ∵
∴, 从而CH为
的平分线,
又四边形ABCD是菱形, ∴
∴与BD所成角为
, 即
54. 已知AO是平面的斜线,A是斜足,OB垂直
,B为垂足,则
直线AB是斜线在平面内的射影,设AC是
内的任一条直线,
解析:设AO与AB所成角为,AB与AC所成角为
,AO与AC所成角为
,则有
。
在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=
∠ACB=,
,求异面直线SC与AB所成角的大小。(略去了该题的1,2问)
由SA⊥平面ABC知,AC为SC在平面ABC内的射影,
设异面直线SC与AB所成角为,
则 ,
由 得
∴ ,
,
∴ , 即异面直线SC与AB所成角为
。
53. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AC1与BD所成的角的余弦.
解一:连AC,设AC∩BD=0,则O为AC中点,取C1C的中点F,连OF,则OF∥AC1且OF=
AC1,所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中,OB=
,OF=
,BE=
,由余弦定理得
cos∠OB==
解二:取AC1中点O1,B1B中点G.在△C1O1G中,∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
解三:.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE∥BD,所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角.连EC1,在△AEC1
中,AE=,AC1=
,C1E=
由余弦定理,得
cos∠EAC1==
<0
所以∠EAC1为钝角.
根据异面直线所成角的定义,AC1与BD所成的角的余弦为
52. .如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 。求异面直线AB与CD所成的角。
解析:在BD上取一点G,使得
,连结EG、FG
在ΔBCD中,,故EG//CD,并且
,
所以,EG=5;类似地,可证FG//AB,且,
故FG=3,在ΔEFG中,利用余弦定理可得
cos∠FGE=
,故∠FGE=120°。
另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所成的角等于60°。
2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
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