15．下图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽为________．

答案：2m

解析：如图建立直角坐标系，

将A(2，－2)代入x²＝my，得m＝－2

∴x²＝－2y，代入B(x₀，－3)得x₀＝

故水面宽为2m.

14．若抛物线y²＝2px的焦点与双曲线－y²＝1的右焦点重合，则实数p＝__________.

答案：p＝4

解析：抛物线的焦点F为(，0)，

双曲线－y²＝1的右焦点F₂(2,0)，

由已知得＝2，∴p＝4.

13．(2009·宁夏、海南，13)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．

答案：y＝x

解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y²＝4x.设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则y₁+y₂＝4，y＝4x₁①，y＝4x₂②，①－②得y－y＝4(x₁－x₂)，

∴(y₁+y₂)(y₁－y₂)＝4(x₁－x₂)，

∴＝1，∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，∴直线方程为y－2＝x－2，即y＝x.

12．已知点P是抛物线y²＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d₁，到直线x+2y+10＝0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．5　　　　　 B．4　　　　　 C.　　　 D.

答案：C

解析：如下图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x+2y+10＝0的垂线，此时d₁+d₂最小，

∵F(1,0)，则d₁+d₂＝＝，选C.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

11．已知点F₁(－，0)、F₂(，0)，动点P满足|PF₂|－

|PF₁|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　　 D．2

答案：A

解析：由已知得a＝1，c＝，b＝1，

点P的轨迹为双曲线x²－y²＝1，

将y＝代入，得x²＝，

∴|OP|＝＝＝.故选A.

10．(2010·辽宁育才中学模拟)已知以F₁(－2,0)，F₂(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．3　 　　　　　　 B．2　 　　　　　　 C．2　 　　　　　　 D．4

答案：C

解析：设椭圆长轴长为2a(且a>2)，则椭圆方程为+＝1.

由，

得(4a²－12)y²+8(a²－4)y+(16－a²)(a²－4)＝0.

∵直线与椭圆只有一个交点，∴Δ＝0，

即192(a²－4)²－16(a²－3)×(16－a²)×(a²－4)＝0.

解得a＝0(舍去)，a＝2(舍去)，a＝.

∴长轴长2a＝2.

9．(2009·广州调研)已知抛物线C的方程为x²＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－∞，－1)∪(1，+∞)　　　　　 B．(－∞，－)∪(，+∞)

C．(－∞，－2)∪(2，+∞)　　　 D．(－∞，－)∪(，+∞)

答案：D

解析：如图，设过A的直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立得x²－kx+＝0，Δ＝k²－2＝0，k＝±2，求得过A的抛物线的切线与y＝3的交点为(±，3)，则当过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(－∞，－)∪(，+∞)，故选D.

8．(2009·浙江，9)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若＝，则双曲线的离心率是　 (　)

A.　 　　　　　　　　 B.　 　　　　　 C.　 　　　　　 D.

答案：C

解析：直线l：y＝－x+a与渐近线l₁：bx－ay＝0交于B(，)，l与渐近线l₂：bx+ay＝0交于C(，)，A(a,0)，＝(－，)，＝(，－)，∵＝，

∴＝，b＝2a，

∴c²－a²＝4a²，∴e²＝＝5，

∴e＝，故选C.

7．经过椭圆+y²＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．－3　 　　　 B．－　　　　 C．－或－3　 　　　 D．±

答案：B

解析：由+y²＝1，得a²＝2，b²＝1，c²＝a²－b²＝1，焦点为(±1,0)．

直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.

代入+y²＝1得x²+2(x－1)²－2＝0，

即3x²－4x＝0.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁·x₂＝0，x₁+x₂＝，y₁y₂＝(x₁－1)(x₂－1)＝x₁x₂－(x₁+x₂)+1＝1－＝－，

·＝x₁x₂+y₁y₂＝0－＝－.

6．(2009·全国Ⅱ，8)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)²+y²＝r²(r＞0)相切，则r＝

(　)

A.　 　　　　　　　　 B．2 　　　　　　　　　 C．3　 　　　　　 D．6

答案：A

解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝，∴r＝.故选A.