18．(本小题满分12分)已知(2+)ⁿ展开式中的第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

分析：问题的关键在于求n，n确定后，可由二项式系数的性质确定项．

解析：由于第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列可得

C+C＝2C建立关于n的方程得

+

＝2·，

化简得n²－21n+98＝0，解得n＝14或7，当n＝14时，二项式系数最大的项是T₈，其系数为C·2⁷·()⁷＝3432；当n＝7时，二项式系数最大的项是T₄和T₅，T₄的系数为C·2⁴()³＝70，T₅的系数为C·2³()⁴＝.

总结评述：在(2+)ⁿ的展开式中，每一项的系数与它的二项式系数是不同的．求解中若不注意这一点，就会产生错误．

利用方程的观点建立关于n的方程是二项式系数应用的一大特点，求解时注意：是求二项式系数最大的系数，而不是求二项式系数．

17．(2009·五校单元训练)(本小题满分10分)

(1)求77⁷⁷－7被19整除所得的余数；

(2)求1.02⁵的近似值(精确到0.01)．

解析：(1)∵77＝76+1＝4×19+1，

∴77⁷⁷－7＝(76+1)⁷⁷－7＝C·76⁷⁷+C·76⁷⁶+…+C·76+C·1－7

＝76(C·76⁷⁶+C·76⁷⁵+…+C)－19+(19－6)，

所以余数是19－6＝13.

(2)1.02⁵＝(1+0.02)⁵＝1+C·0.02+C·0.02²+C·0.02³+C·0.02⁴+C·0.02⁵，

∵C·0.02²＝4×10^－3＝0.004，

C×0.02³＝8×10^－5，

∴当精确到0.01时，只需取展开式的前三项和为：

1+0.10+0.004＝1.104.则近似值为1.10.

16．(2009·四川，13)(2x－)⁶的展开式的常数项是________．(用数字作答)

答案：－20

解析：展开式的通项公式T_r+1＝C(2x)^6－r·(－)^r＝(－1)^r·C·2^6－r·x^6－2r·()^r，当6－2r＝0即r＝3时为此二项展开式的常数项，为(－1)³·C·2³·()³＝－20.

15．(2009·湖南，10)在(1+x)³+(1+)³+(1+)³的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．

答案：7

解析：C+C+C＝2³－1＝7.

14．(2009·上海，11)若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有________种选法．

答案：25

解析：分两类：1男2女或2男1女，所选人数

CC+CC＝5+20＝25.

13．(2009·重庆，13)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．

答案：72

解析：先求5个人的全排列，再减去甲、乙相邻时的排法，A－AA＝120－48＝72.

12．(2010·江苏丹阳模拟)若对于任意的实数x，有x³＝a₀+a₁(x－2)+a₂(x－2)²+a₃(x－2)³，则a₂的值为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．3　 　 B．6 　　 　C．9　 D．12

答案：B

解析：解法一：等式右边为二项式结构，因此将左边x³转化为二项式形式：

x³＝[(x－2)+2]³＝C(x－2)³·2⁰+C(x－2)²·2¹+C(x－2)¹·2²+C(x－2)⁰·2³，

∴a₂＝C·2¹＝6.

解法二：显然a₃＝1，等式右边x²的系数为a₂+a₃·C(－2)，而等式左边x²的系数为0，∴a₂＝6.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

11．(2009·西安地区八校联考)某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A、B、C、D、E、F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有　　　　　 (　)

A．24种　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．36种

C．48种　 　　　　　　　　　　　　 　　D．72种

答案：B

解析：若A上第一节课，则第四节课只能由C上，其余两节课由其他人上，有A种安排方法；若B上第一节课，则第四节课有2种安排方法，其余两节课由其他人上，有2×A种安排方法．所以不同安排方法的种数为A+2×A＝36.

10．(2010·重庆模拟)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

(　)

A．8种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　B．12种

C．16种 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　D．20种

答案：B

解析：联想一空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即C·C；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即C－C＝12种．

9．(2009·江西，7)(1+ax+by)ⁿ展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a＝2，b＝－1，n＝5 　　　　　 　B．a＝－2，b＝－1，n＝6

C．a＝－1，b＝2，n＝6　 　　　　 　D．a＝1，b＝2，n＝5

答案：D

解析：不含x的项的系数的绝对值为(1+|b|)ⁿ＝243＝3⁵，不含y的项的系数的绝对值为(1+|a|)ⁿ＝32＝2⁵，∴n＝5，故选D.