18．(2009·江苏，15)(本小题满分12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α+β)的值；

(2)求|b+c|的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16.求证a∥b.

解析：(1)由a与b－2c垂直

则a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，

即4sin(α+β)＝8cos(α+β)，tan(α+β)＝2.

(2)∵b+c＝(sinβ+cosβ，4cosβ－4sinβ)，

则|b+c|²＝sin²β+2sinβcosβ+cos²β+16cos²β－32cosβsinβ+16sin²β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b+c|的最大值为4.

(3)由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，

即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，故a∥b.

17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝.

(1)若a∥b，求a·b；

(2)若a，b的夹角为135°，求|a+b|.

解析：(1)∵a∥b，

∴若a，b同向，则a·b＝|a||b|＝；

若a，b反向，则a·b＝－|a||b|＝－.

(2)∵a，b的夹角为135°，

∴a·b＝|a||b|cos135°＝－1，

∴|a+b|²＝(a+b)²＝a²+b²+2a·b＝1+2－2＝1，

∴|a+b|＝1.

16．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，那么△ABC的外接圆的直径等于__________．

答案：5

解析：∵S＝acsinB＝2，∴×1×c×sin45°＝2，

∴c＝4，

∴b²＝a²+c²－2accosB＝1+32－2×1×4×cos45°，

∴b²＝25，b＝5.

所以△ABC的外接圆的直径等于＝5.

15．(2009·朝阳4月)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若∠B＝45°，b＝，a＝1，则∠C等于________度．

答案：105

解析：由正弦定理得sinA＝＝，A＝30°或150°(舍去)，则∠C＝105°，故填105.

14．(2009·广东，10)若平面向量a，b满足|a+b|＝1，a+b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.

答案：(－1,1)或(－3,1)

解析：设a＝(x，y)，

则a+b＝(x+2，y－1)，

由题意⇒

∴a＝(－1,1)或(－3,1)．

13．(2009·湖北武汉5月)点M(4，－3)关于点N(5，－6)的对称点是________．

答案：(6，－9)

解析：设对称点为M′(x，y)，由中点坐标公式得解得

即对称点是(6，－9)．

12．(2010·福建省四地六校联考)若向量a、b、c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a+b且a⊥c，则向量a与b的夹角为　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．30°　 　　　　　　　　　　 B．60°　 　　　　　　　　　　 C．120°　 　　　　　　　　　 D．150°

答案：C

解析：∵a⊥c，∴a·c＝0，∴a·(a+b)＝0，∴a·a+a·b＝0，∴a·b＝－1，∴cos<a，b>＝＝＝－，∴<a，b>＝120°，故选C.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

11．(2009·汕头一模)已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin²A－sin²C)＝(a－b)sinB，那么角C的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：B

解析：由2R(sin²A－sin²C)＝(a－b)sinB，根据正弦定理得a²－c²＝(a－b)b＝ab－b²，cosC＝，那么角C的大小为，故选B.

10．(2009·辽宁，3)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a+2b|＝

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　 B．2　 　　　　　　　　　　 C．4　 　　　　　　　　　　　　 D．12

答案：B

解析：∵|a|＝2，∴|a+2b|²＝(a+2b)²＝a²+4a·b+4b²＝4+4×2×1×cos60°+4×1²＝12，∴|a+2b|＝2.

9．(2009·重庆，4)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：C

解析：∵a·(b－a)＝a·b－a²＝2.又|a|＝1，∴a·b＝3.即|a|·|b|cos<a，b>＝3＝1×6cos<a，b>，得cos<a，b>＝，∴a与b的夹角为，故选C.