例5、求证：。

分析：三个幂的幂指数都相同，可以考虑将除到左边，再使用指数函数的单调性证明。

证明：原不等式可化为，构造函数,由指数函数在R上都是减函数，所以R上也是减函数。

　 因为，2008>2，所以，即。

例4、是否存在实数a(a>0,且a≠1)，使函数f(x)= 在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出a的范围；如果不存在，请说明理由。

分析：对于存在型问题，可以先假设存在实数a，通过推理，如果能求出a的范围，则实数a存在，如果求不出a的范围或推出矛盾，则说明a存在。

解：假设实数a存在，设g(x)=ax²-x.，若a>1，因为f(x)= 在区间[2，4]上是增函数，所以g(x)=ax²-x. 在区间[2，4]上也是增函数，应满足，解得a≥,所以a>1. 若0<a<1，因为f(x)= 在区间[2，4]上是增函数，所以g(x)=ax²-x. 在区间[2，4]上是减函数，应满足，解得a≤,即0<a≤。

综上可知，存在实数0<a≤或a>1，使函数f(x)= 在区间[2，4]上是增函数。

注：本题主要利用了复合函数的单调性规律。

例3、求函数y=的最大值。

分析：这是由指数函数参与构成的复合函数，应根据复合函数的单调性规律求解。

解：因为函数的定义域为R，设u=,因为函数y=

在R上是减函数，所以要求函数y=的最大值，只需求出u=的最小值，u==(x-3)²+8≥8，所以函数y=的最大值为= .

注：此法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值(值域)。

例2、函数y=的定义域是　　　　

分析：要使函数有意义，只需被开方的部分大于零。

解：要使函数的意义，只需。因为函数y=在R上是增函数，所以只需x≥2，即函数定义域为{x│x≥2}。

　 注：此法主要用于解决使函数有意义的式子是含有指数幂的不等式的问题。

例1、　　　 已知(x²+x+2)^M> x²+x+2)^N,比较M与N的大小。

分析：(x²+x+2)^M与 x²+x+2)^N底数相同，比较M与N的大小，关键是判断底数与1的大小关系。

解：因为x²+x+2=(x+)²+≥>1,所以函数f(t)= (x²+x+2)^t在R上是增函数，因为(x²+x+2)^M> x²+x+2)^N,所以M>N。

注：利用指数函数单调性比较两数的大小，如果两个数底不同数应首先化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性求解。

4、求参数范围

主要是指、对数型函数的逆向问题。

例7设函数，若，则的取值范围是　　　 (　　 )

A.　　　 B.　　　　 C.　　 D.

解：若，则有，得：；

若，则有，得：。

综上可知，，故选D。

例8若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　 　　C.　　　　　　 D.

解：因为，

。

由对数性质知，要在上满足，则必有，

即，故选A。

3、单调性问题

主要是判断增、减性，求单调区间，利用单调性比较大小等。

例5设，则　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　 D.

解：由，又指数函数是增函数，

所以，故选D。

例6函数的单调递减区间是　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：因为，

。

又的对称轴为。

因为为减函数，

必为增函数，

。

又，

，故选B。

2、互化问题

有关指、对数问题主要有以下两种形式的互化：

①，此种变化经常伴随着对数性质的应用；

②，此种变化经常伴随着幂运算性质的应用。

例3已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解：令，得：。

，故选D。

例4求方程的解。

解：将对数式化为指数式，得：，

即，

解之得：，

。

1、求定义域

　　 对于求指、对数型函数的定义域主要掌握以下四点：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数的真数为正且底数大于零而不为1；④指数的底数大于零而不为0。

　　 例1函数的定义域为。

解：由，即，得：。

所以原函数的定义域为。

例2函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：由，即，得：。

所以原函数的定义域为，故选A。

5．函数与方程的思想

本章中学习了指数函数、对数函数，研究了分段函数，函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性．因此，用函数和方程的观点指导解题，是一种重要思想方法．

例5　设，且它们的绝对值都不大于1，求证：．

　分析：构造函数，是关于的一次函数，由于［－1，1］,只要证明且，就能证明．

证明：设 ，是关于的一次函数

　∵ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∴在［－1，1］上恒为负，　 ∴．

评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而由一次函数的图像性质，使问题得以解决．