例5已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)内存在反函数，且f(x－1)＝x²－2x，求f^－1(－)的值.

错解：因为f(x－1)＝x²－2x＝(x－1) ²－1，所以f(x)＝x²－1.

由x²－1＝－，得x＝±，故f^－1(－)＝±.

辨析：上述解法忽视了“f^－1(－)就是原函数定义域中一个值”这一隐含条件.

正解：因为f(x－1)＝x²－2x＝(x－1) ²－1，所以f(x)＝x²－1.

由x²－1＝－，得x＝±，又∵x＜0，故f^－1(－)＝－.

特别提醒：在求解反函数问题时要注意原函数与反函数的定义域与值域的互换性.

六﹑作函数图象法中的错误

例7作函数y＝2的图象.

错解：由y＝2＝2＝,故函数y＝2的图象如图所示.

辨析：本题函数的解析式转化为另一种解析式时定义域或值域发生了变化，作出的图象当然不是原函数要求的图象了.原函数y＝2的定义域是x≠0的全体实数，值域是y＞0.化简后的函数y＝的定义域是x≠0，值域是y≠0，扩大了值域，因而原函数的图象显然是错误的.

正解：原函数y＝2＝2＝||，从而依据对称变换可得原函数的图象如右图所示.

特别提醒：在对函数式进行变形时，必须注意定义域的变化以及一些恒等式成立的前提条件.

七﹑利用指数与对数函数的图象判断方程根中的错误

例8求方程x²＝2^x的解的个数.

错解：令y＝x²，y＝2^x，在同一直角坐标系内作出它们的图象，如图所示，观察图象可得y＝x²与y＝2^x的图象有两个交点，所以方程共有两个解.

辨析：本题在画图时没有将两个图象的交点完全作出，这是受画图的局限性而致解答失误的.

正解：由于当x＞0时，2^x增长较快，故当x＞2(x＝2是方程的一个解)时，两图象还有一个交点(此时交点的横坐标为x＝4).故方程共有三个解，且分别为2,4及一个负数的解.

特别提醒：用图象辅助解题，具有直观简捷的作用，但同时也须注意：作图应规范，图形应大致准确地反应变化的趋势.

例2若函数y＝lg(x²+ax+1)的值域为R，求实数a的取值范围.

错解：因函数y＝lg(x²+ax+1)的值域为R，故x²+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)＝x²+ax+1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a²－4＜0，解得－2＜a＜2，它便是所求的a的取值范围.

辨析：以上解答与下列问题混为一谈：若函数y＝lg(x²+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围.事实上，当值域为R时，它表示函数值x²+ax+1可取遍全体正实数，因而函数x²+ax+1的最小值不大于0；而当函数y＝lg(x²+ax+1)的定义域为R时，它表示对一切实数x，函数值x²+ax+1恒正，因而它们是两类不同的问题.

正解一：∵函数y＝lg(x²+ax+1)的值域为R，∴x²+ax+1当x∈R时，可取遍全体正实数，∴x²+ax+1的最小值不大于0，∴△＝a²－4≥0，即a≥2或a≤－2，这就是所求a的取值范围.

正解二：同上，x²+ax+1的最小值不大于0，∵x²+ax+1＝(x+)²+1–，∴x²+ax+1的最小值为1–≤0，解得a≥2或a≤－2，这就是所求a的取值范围.

特别提醒：破解问题时，应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为A”与“f(x)∈A恒成立”与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们，在平时的学习中，应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别.

例3已知函数f(x)＝log₂x+3(x∈[1,8])，则函数y＝[f(x)]²+f(x²)的最大值是_____________.

错解：∵x∈[1,8]，故log₂x∈[0,3]，

y＝[f(x)]²+f(x²)＝(log₂x+3)²+(log₂x²+3)＝logx+8log₂x²+12＝(log₂x+4)²－4，

而log₂x+4∈[4,7]，则(log₂x+4)²－4∈[12,45]，∴y＝[f(x)]²+f(x²)的最大值为45.

辨析：函数f(x)的定义域为[1,8]，则f(x²)的定义域应为[1,2]，上面的解法忽视了定义域的变化，从而扩大了值域.

正解：函数y＝[f(x)]²+f(x²)的定义域是由Þ1≤x≤2确定，∴y＝[f(x)]²+f(x²)＝(log₂x+4)²－4，而log₂x∈[0,]，则(log₂x+4)²－4∈[12,]，∴y＝[f(x)]²+f(x²)的最大值为.

特别提醒：复合函数导致定义域变化最容易被忽略，在解相关题目时，要重点先分析定义域，做到解题时无“后顾之忧”.

三﹑求函数的解析式中的错误

例4已知函数f(x²－3)＝lg，求f(x)的解析式.

错解1：由＞0，得x＞2或x＜－2，∴函数f(x)的定义域为{x|x＞2或x＜－2}.

错解2：令x²－3＝t，是x²＝t+3，代入函数式可得：f(t)＝lg，由＞0，得t＜－3或t＞1，

∴函数f(x)的定义域为{x|t＜－3或t＞1}.

辨析：错解1把函数f(x²－3)与f(x)混淆为同一函数.若令F(x)＝f(x²－3)＝lg，令x²－3＝t，得f(t)＝，就会发现F(x)与f(x)是两个不同的函数，它们具有不同的定义域和对应法则，因此求的是F(x)的定义域，而不f(x)的定义域.错解2在用换元法时没有考虑自变量t受到x²－3的取值范围的限制.

正解：正确的解法为：先求f(x)的表达式，令x²－3＝t，因＞0，故x＞2或x＜－2，则x²＝t+3，此时由抛物线性质知t＞－3，∴f(t)＝，由＞0，得t＜－3或t＞1，此时f(x)的定义域就是t的取值范围，故f(x)的定义域为{x|x＞1}.

特别提醒：本题所求复合函数外层函数定义域，根据复合规律知实质上是求内层函数的值域.因此，解答复合函数问题时，分清内、外层函数是关键.

四﹑判断函数单调性中的错误

例6试求函数f(x)＝log₄(7+6x－x²)的单调递增区间.

错解：设y＝log₄u，u＝g(x)＝7+6x－x²＝－(x－3)²+16，则对二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数；当x≥3时为减函数，又y＝log₄u是增函数，故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(－∞,3].

辨析：上述解答中就是忽视了原函数的定义域{x|－1≤x≤7}，因为函数的单调区间是函数定义域的子区间.

正解：设y＝log₄u，u＝g(x)＝7+6x－x²＝－(x－3)²+16，则

对二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数；当x≥3时为减函数，

又y＝log₄u是增函数，且由7+6x－x²＞0得函数的定义域为(－1,7)，

于是函数f(x)的增区间是(－1,3].

特别提醒：由于函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域，

3. 指数函数,对数函数是高考重点之一

指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.

典型例题讲解:

例1.定义在R上的函数满足，当时，

．

(1) 求的值；

(2) 比较与的大小．

解：(1)∵, ∴,.

∵,∴,

(2) ∵

∴

而

∴

例2．方程lgx+x=3的解所在区间为(　　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例3.设a＞0, f (x)＝是R上的奇函数.

(1) 求a的值;

(2) 试判断f (x )的反函数f^－1 (x)的奇偶性与单调性.

解：(1) 因为在R上是奇函数, 所以,

(2)

, 为奇函数.

用定义法可证为单调增函数.

(也可用原函数证明)

例4. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝在区间上是增函数? 如果存在,

说明a可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.

解： 设, 对称轴.(1) 当时, ;

(2) 当时, .　 综上所述: 　

例5．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3＜-3+9+2得

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

例6．已知函数f(x)=log_m

(1)若f(x)的定义域为［α，β］，(β＞α＞0)，判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［log_m［m(β–1)］，log_m［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.

命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.

知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.

错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.

技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.

解：(1)x＜–3或x＞3.

∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3

设β≥x₁＞x₂≥α，有

当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.

(2)若f(x)在［α,β］上的值域为［log_mm(β–1),log_mm(α–1)］

∵0＜m＜1, f(x)为减函数.

∴

即

即α,β为方程mx²+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根

∴　 ∴0＜m＜

故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.

2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):

且

指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线对称, 指数函数与对数函数的性质可以自己总结做表对比。

1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络

2、分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.

　解: 由 可知 ,

= ,

　当 时,若 ,则 ,此时 ,

　若 ,则 ,此时 .

　当 时, .

　当 时, 若 ,则 ,此时 ,

　若 ,则 ,此时 .

　点评:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对 和 的讨论要分清楚.

1、分析:这是指数函数的应用问题,根据题意列出函数解析式后再进行相应的计算.

　解: 两年增长的人口应为560000(1+1‰) ≈1120(万),所以应选 .

　说明:与指数函数相关的应用问题较多,如放射性物质的蜕变,人口增长,利率等,遇到类似问题时,应能主动调动指数函数相关知识来解决.

2.已知 ,试把 用含 的式子表示出来,并化简.

1.世界人口已超过56亿,若按千分之一的年增长率计算,则两年增长的人口相当于一

个　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

例6、对于函数f(x)定义域内任意的x₁、x₂(x₁≠x₂)有下列结论：①f(x₁+x₂)= f(x₁)f(x₂);②f(x₁x₂)= f(x₁)+f(x₂);③>0;④f()<.当f(x)=lnx时，上述结论是正确结论的序号是　　　　

分析：因为f(x)=，所以可结合指数函数的性质进行判断。

解：因为f(x)= ，所以f(x₁+x₂)= f(x₁) f(x₂)，即①正确；由于f(x)= 是单调递增函数，所以>0，即③正确；可判断②④均不正确。所以正确结论的序号是①③。