2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x+m平行，则|AB|＝　　　　　　　　　 (　)

A．6　 　　　　　　B.　　　　　　　 C．2 　　　　　　D．不确定

解析：由题知＝1，∴b－a＝1.

∴|AB|＝＝.

答案：B

1．抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　　　　　B.　　　　　　　 C．|a| 　　　　　　　D．－

解析：由已知焦点到准线的距离为p＝.

答案：B

20.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(x²－3x+3)·e^x的定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.

(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；

(2)求证：n>m；

(3)若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围.

解：(1)因为f′(x)＝(x²－3x+3)·e^x+(2x－3)·e^x＝x(x－1)·e^x，

由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，

所以f(x)在(－∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

欲使f(x)在[－2，t]上为单调函数，则－2<t≤0.

(2)因为f(x)在(－∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝e.

又f(－2)＝<e，所以f(x)仅在x＝－2处取得[－2，t]上的最小值f(－2)，

从而当t>－2时，f(－2)<f(t)，即m<n.

(3)由(1)知f(x)在(－∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

故当t＝0或t＝1时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上不可能有三个不等实根，

所以t≥2，且t∈N.

当t≥2，且t∈N时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上有三个不等实根，

只需满足m∈(max(f(－2)，f(1))，min(f(0)，f(t)))即可.

因为f(－2)＝，f(0)＝3，f(1)＝e，f(2)＝e²，且f(t)≥f(2)＝e²>3＝f(0)，

因而f(－2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t)，

所以f(1)<m<f(0)，即e<m<3，

即实数m的取值范围是(e,3).

19.(本小题满分14分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x+4)，当2≤x≤6时，f(x)＝

()^||+n，f(4)＝31.

(1)求m，n的值；

(2)比较f(log₃m)与f(log₃n)的大小.

解：(1)因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(x+4)，

所以4是函数f(x)的一个周期.

可得f(2)＝f(6)，即()+n＝()+n，　　　　　 　　　　　　　　　　　①

又f(4)＝31，()+n＝31，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②组成方程组解得m＝4，n＝30.

(2)由(1)知，函数f(x)＝()+30，x∈[2,6].

因为1<log₃4<2，所以5<log₃4+4<6.

f(log₃m)＝f(log₃4)＝f(log₃4+4)

＝()+30

＝()^|log₃^4|+30.

又因为3<log₃30<4，

18.(本小题满分14分)某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加 成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为500件，年销售收入(单位：万元)为R(t)＝5t－(0≤t≤5)，其中t为产品售出的数量(单位：百件).

(1)把年利润表示为年产量x(百件)(x≥0)的函数f(x)；

(2)当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？

解：(1)当0≤x≤5时，f(x)＝R(x)－0.5－0.25x

＝－x²+4.75x－0.5；当x>5时，

f(x)＝R(5)－0.5－0.25x＝12－0.25x，

故所求函数解析式为

(2)0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)²+10.78125，

∴在x＝4.75时，

f(x)有最大值10.78125，当x>5时，

f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5

＝10.75<10.78125，

综上所述，当x＝4.75时，f(x)有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润.

17.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax+(x≠0，常数a∈R).

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在x∈[3，+∞)上为增函数，求a的取值范围.

解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.

当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0时，f(x)是偶函数；

当a≠0时，f(1)＝a+1，f(－1)＝1－a，

若f(x)为偶函数，则a+1＝1－a，a＝0矛盾；

若f(x)为奇函数，

则1－a＝－(a+1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数.

(2)任取x₁>x₂≥3，f(x₁)－f(x₂)＝ax₁+－ax₂－

＝a(x₁－x₂)+＝(x₁－x₂)(a－).

∵x₁－x₂>0，f(x)在[3，+∞)上为增函数，

∴a>，即a>+在[3，+∞)上恒成立.

∵+<，

∴a≥.

16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x⁴－4x³+ax²－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.

(1)求a的值；

(2)记g(x)＝bx²－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.

解：(1)f′(x)＝4x³－12x²+2ax，因为f(x)在[0,1]上递增，在[1,2]上递减，所以x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0，

即4×1³－12×1²+2a×1＝0.

解得a＝4，经检验满足题意，所以a＝4.

(2)由f(x)＝g(x)可得

x²(x²－4x+4－b)＝0，

由题意知此方程有三个不相等的实数根，

此时x＝0为方程的一实数根，则方程x²－4x+4－b＝0应有两个不相等的非零实根，

所以Δ>0，且4－b≠0，

即(－4)²－4(4－b)>0且b≠4，

解得b>0且b≠4，

所以所求b的取值范围是(0,4)∪(4，+∞).

15.(本小题满分12分)已知函数

(1)写出f(x)的单调区间；

(2)若f(x)＝16，求相应x的值.

解：(1)f(x)的单调增区间为[－2,0)，(2，+∞)，

单调减区间为(－∞，－2)，(0,2].

(2)由f(x)＝16

∴(x+2)²＝16，∴x＝2(舍)或－6；

或(x－2)²＝16，∴x＝6或－2(舍).

∴x的值为6或－6.

14.已知函数f(x)＝x²－cosx，对于上的任意x₁，x₂，有如下条件：

①x₁>x₂；②x>x；③|x₁|>x₂.

其中能使f(x₁)>f(x₂)恒成立的条件序号是　　.

解析：函数f(x)为偶函数，f′(x)＝2x+sinx，

当0＜x≤时，0<sinx≤1,0<2x≤π，

∴f′(x)>0，函数f(x)在上为单调增函数，

由偶函数性质知函数在上为减函数.

当x>x时，得|x₁|>|x₂|≥0，

∴f(|x₁|)>f(|x₂|)，由函数f(x)在上为偶函数得f(x₁)>f(x₂)，故②成立.

∵>－，而f＝f，

∴①不成立，同理可知③不成立.故答案是②.

答案：②

13.已知函数f(x)＝log₂(x²－ax+3a)，对于任意x≥2，当Δx>0时，恒有f(x+Δx)>f(x)，则实数a的取值范围是　　.

解析：依题意，对于任意x≥2，当Δx>0时，恒有f(x+Δx)>f(x)，说明函数f(x)在[2，+∞)上是单调递增函数，所以应有，解得－4<a≤4，此即为实数a的取值范围.

答案：(－4,4]