12．过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为______________．

解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，

故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，

|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，

∴∠ABC＝30°，||＝2p，

·＝4p·2p·cos30°＝48，

解得p＝2，

∴抛物线的方程为y²＝4x.

答案：y²＝4x

11．直线l的方程为y＝x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．

解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0)，F₂(1,0),2a＝|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解．

答案：+＝1

10．(2009·福建高考)过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

解析：由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，

∴2p＝|AB|×，∴p＝2.

答案：2

9．已知点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为________．

解析：可看作点(x₀，y₀)与点(a，b)的距离．而点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0上，所以的最小值为点(a，b)到直线ax+by＝0的距离＝.

答案：

8．(2009·天津高考)设抛物线y²＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝　　　　　 　　　　　　　　　　

(　)

A. 　　　　　　　B.　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　D.

解析：如图过A、B作准线l：x=-的垂线，垂足分别为A₁，B₁，

由于F到直线AB的距离为定值．

∴＝.

又∵△B₁BC∽△A₁AC.

∴＝，

由拋物线定义＝＝.

由|BF|＝|BB₁|＝2知x_B＝，y_B＝－，

∴AB：y－0＝(x－)．

把x＝代入上式，求得y_A＝2，x_A＝2，

∴|AF|＝|AA₁|＝.

故＝＝＝.

答案：A

第Ⅱ卷　(非选择题，共110分)

7．(2009·四川高考)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y₀)在该双曲线上，则·＝　　　　　　　　　　 (　)

A．－12　 　　　　　　　B．－2　　　　　　　 C．0　　　　 　D．4

解析：由渐近线方程y＝x得b＝，

点P(，y₀)代入－＝1中得y₀＝±1.

不妨设P(，1)，∵F₁(2,0)，F₂(－2,0)，

∴·＝(2－，－1)·(－2－，－1)

＝3－4+1＝0.

答案：C

6．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)²+y²＝r²(r>0)相切，则r＝(　)

A.　 　　　　　　B．2　　　　　　 C．3 　　　　　　　D．6

解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝.

答案：A

5．抛物线y＝－4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　　 (　)

A. 　　　　　　　B.　　　　　　　　 C．－ 　　　　　D．－

解析：准线方程为y＝，

由定义知－y_M＝1⇒y_M＝－.

答案：C

4．若直线ax+2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x²+y²－4x－2y－8＝0的周长，则+的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．1 　　　　　　　B．5　　　　　　　　　 C．4 　　　　　　D．3+2

解析：由(x－2)²+(y－1)²＝13，得圆心(2,1)，

∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．

∴a+b＝1.

∴+＝(+)(a+b)＝3++≥3+2，

当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时取等号，

∴+的最小值为3+2.

答案：D

3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py²的焦点为(e,0)，则p的值为(　)

A．2 　　　　　　　B．1　　　　　　　 C. 　　　　　　　D.

解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y²＝x，故＝2，得p＝.

答案：D