题目列表(包括答案和解析)
1.(2008年柳州测试)已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b,则f(-a)等于( )
A.b B.-b
C. D.-
在解决有些垂直问题时,可通过计算来判断某个角为直角,如能巧用,则有神奇的解题功效,不可忽视.
如上例中,,,
,
所以为直角,即CD⊥AC,又已知CD⊥BC,,所以CD⊥平面ABC,又平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.巧妙计算得到垂直关系CD⊥AC,使得问题轻松获解.
由于平面几何中只有相交垂直的情况,所以很多学习者往往形成一种思维定式,认为只有相交才能垂直,而事实上垂直与相交并无必然联系,垂直不必一定要求相交,此即异面直线垂直的情况.异面直线的垂直是垂直中最难理解的垂直关系,需多观察、应用,尽快理解、熟悉.
事实上,异面直线之间的垂直是垂直关系在相交直线垂直的基础上的扩充,把垂直关系从平面推广到了空间.理解异面直线之间的垂直关系的过程的同时也是建立空间垂直关系和空间感的过程.只有理解了异面直线之间的垂直关系,才算是全面地理解了空间中的垂直关系.
如上例中,AB与CD即为异面直线之间的垂直关系,若不能很好的理解或不熟悉,解题思路便会受阻.
直线、平面的垂直都是相互的,如直线AB与直线CD垂直,则直线CD也与直线AB垂直,这虽然是一个简单的转化,但从思维方向和看问题的角度上都发生了变化,需注意多加训练,做到随时随地根据需要准确熟练的进行转化.
在上例中,已知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD成立,而根据直线与平面垂直的判定定理需要寻找CD与平面ABC内的哪些直线垂直,此时,及时的把AB⊥CD转化为CD⊥AB,则会使思路更畅通.
在学习所有与垂直相关的定理时,都要注意把定理变换角度来叙述,如直线与平面垂直的判定定理“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直”,也可叙述为“一个平面内有相交的两条直线都与一条直线垂直,则此直线与该平面垂直”等形式,只有这样才能通过学习,真正的拓展思维,建立科学完整的知识结构.
在解决垂直问题的过程中,第一步的问题就是判断哪些关系是垂直关系,哪些关系不是垂直关系,准确迅速的排除不垂直关系.对垂直关系的确定极为关键,在所有的垂直关系中,以直线与平面的垂直关系最为重要. 根据直线与平面垂直的定义,判断直线与平面不垂直,只需平面内有一条直线与已知直线不垂直,则直线与平面不垂直.以下举例说明其应用.
例 如图,在四面体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,求证:平面ABC⊥平面ACD.
分析:要证明两平面垂直,需在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直,现有AB、BC、AD、CD四条直线供选择.因为AC为两个平面的公共直线,而显然AB不垂直AC,BC不垂直AC,所以AB、BC都不与平面ACD垂直;AD不垂直AB,所以AD不与平面ABC垂直,最后只需考虑直线CD即可.通过排除,使得我们很快找到了所需的直线.
另外,如果现有的所有直线都不与相应的平面垂直,则必须作辅助直线,这也解决了何时需要作辅助直线的问题.
例1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解析:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
例2.下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解析:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
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