题目列表(包括答案和解析)
5.二分法求函数零点的不足:二分法的思路虽然简单,但是一方面若函数在上有几个零点时,只能算出一个零点;另一方面,即使函数在上有零点,也未必有,即用二分法不能求函数的不变号零点(若曲线通过零点时不变号,则这样的零点叫不变号零点,反之叫变号零点),这就限制了二分法的使用范围.
4.用二分法求方程的近似解时,由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,常通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算.
3.二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想,它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值(即方程近似解)的.“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好地运用,希望同学们在学习中要多加领会.
2.在用二分法求函数零点近似值,即求方程近似解的步骤中,为什么由,便可判断零点的近似值为(或)呢?下面予以说明.
设函数的零点为,则,作出数轴,在数轴上标上的对应点:
所以,.
由于,所以,,即或作为函数的零点的近似值都能达到给定的精确度.
1.二分法是求一般函数的零点的一种通法,使用二分法的前提条件是:函数零点的存在性.
3.函数零点的存在性
对函数零点的存在性应从下列几方面进一步理解:
(1)函数的图象是连续的,当它通过零点(不是二重零点)时,函数值变号;
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;
(3)在函数的某一单调区间内,至多有一个零点;
(4)如果函数在一个区间上的图象不间断,并且它的两个端点处的函数值异号,即,则这个函数在这个区间,至少有一个零点.
2.一次函数和二次函数的零点
(1)对于一次函数,不论还是,方程都有惟一的实数根,相应地一次函数的图象与轴的交点的横坐标为,所以一次函数有且只有一个零点.
(2)对于二次函数,其零点个数可根据一元二次方程根的判别式来确定,具体情形如下表:
方程 根的判别式 |
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方程 根的个数 |
两个不相等的实数根 |
两个相等的实数根 |
无实数根 |
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函数 的零点 |
2个零点 |
1个二重零点 |
无零点 |
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函数 的图象 |
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函数 与轴的交点个数 |
2个 |
1个 |
无 |
1.函数的零点
(1)函数的零点的定义:对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点.
(2)方程的根与函数的零点的关系:由函数的零点的定义可知,函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标.所以,方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
注:①由方程的根与函数零点的关系可知,求方程的实数根,就是确定函数的零点,也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标.这样,就将方程、函数及函数的图象三者有机地结合了起来,体现了“化归”和“数形结合”的数学思想.一般地,对于那些不能用公式法求根的方程来说,可以将方程与函数联系起来,并利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.
②为解决方程的有关解的个数或求参数的取值范围等问题,我们将方程的根与函数零点的关系进一步拓广为:方程有实数根函数与的图象有交点.由此知,求方程的实数根就是确定函数与的图象交点的横坐标,而方程的实数根的个数可根据两函数图象的交点个数来判断.
例4 方程的实根有 个.
解:将原方程变形为,在同一坐标系中分别作出函数和的图象,如图4所示,易知两函数的图象有两个交点,故应填 2.
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