1.对于定义在R上的任何奇函数，均有(　　 )

A.f(x)-f(-x)>0　　　　　　　　　　　　　　 B.f(x)-f(-x)≤0

C.f(x)·f(-x)>0　　　　　　　　　　　　　 D.f(x)·f(-x)≤0

答案：D

解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f²(x)≤0.

14.已知函数f(x)=(-1)²+(-1)²的定义域为［m,n)且1≤m<n≤2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明：对任意x₁、x₂∈［m,n］,不等式?|f(x₁)-f(x₂)|<1恒成立.

(1)解析：解法一：∵f(x)=(-1)²+?(-1)²=+2,

∴f′(x)=·(x⁴-m²n²-mx³+m²nx)=(x²-mx+mn)(x+)

(x-).

∵1≤m≤x<n≤2,∴>0,x²-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+>0.

令f′(x)=0,得x=，

①当x∈［m,］时，f′(x)<0;

②当x∈［，n］时，f′(x)>0.

∴f(x)在［m,］内为减函数，在［，n)为内增函数.

解法二：由题设可得

f(x)=(-1)²-+1.

令t=.

∵1≤m<n≤2,且x∈［m,n］,

∴t=≥2,>2.

令t′==0,得x=.

当x∈［m,］,t′<0;当x∈(,n)时，t′>0.∴t=在［m,］内是减函数，在［，n］内是增函数.∵函数y=(t-1)²-+1在［1，+∞］上是增函数，∴函数f(x)在［m, ］内是减函数，在［，n］内是增函数.

(2)证明：由(1)可知，f(x)在［m,n］上的最小值为f()=2(-1)²,最大值为f(m)=(-1)².

对任意x₁、x₂∈［m,n］,|f(x₁)-f(x₂)|≤(-1)²-2(-1)²=()²-4·+4-1.令u=,h(u)=u⁴-4u²+4u-1.

∵1≤m<n≤2,∴1<≤2,即1<u≤.∵h′(u)=4u³-8u+4=4(u-1)(u-)(u+)>0,

∴h(u)在(1,)上是增函数.∴h(u)≤h()=4-8+4-1=4-5<1.

∴不等式|f(x₁)-f(x₂)|<1恒成立.

13.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=［f(x)］²在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

解析：设b≤x₁<x₂≤a,则

-b≥-x₁>-x₂≥-a.

∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x₁)<f(-x₂)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x₁)<-f(x₂)，

则f(x₂)<f(x₁)<0,［f(x₁)］²<［f(x₂)］²,即F(x₁)<F(x₂).

∴F(x)在［b,a］上为增函数.

12.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：

①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;

②f(1)=1;

③若x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,

则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂).

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值.

解析：(1)对于条件③，令x₁=x₂=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.

(2)设0≤x₁<x₂≤1,则x₂-x₁∈(0,1)，

∴f(x₂)-f(x₁)=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)≥0.

即f(x₂)≥f(x₁),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.

11.设函数f(x)=x+(a>0).

(1)求函数在(0，+∞)上的单调区间，并证明之；

(2)若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.

解析：(1)f(x)在(0,+∞)上的增区间为［,+∞］，减区间为(0，).

证明：∵f′(x)=1-,当x∈［,+∞］时，

∴f′(x)>0,当x∈(0，)时，f′(x)<0.

即f(x)在［+∞］上单调递增，在(0，)上单调递减.(或者用定义证)

(2)［a-2,+∞］为［，+∞］的子区间，所以a-2≥a--2≥0(+1)( -2)≥0-2≥0a≥4.

10.已知函数f(x)满足：对任意实数x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂),且f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂),则f(x)=_____________(请写出一个满足这些条件的函数即可).

答案：a^x(0<a<1)

解析：f(x)在R上递减，f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)的函数模型为f(x)=a^x.

9.若函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________.

答案：(2，)

解析：

8.函数y=的递减区间是__________________.

答案：［2，+∞］

解析：y=()^t单调递减，t=x²-4x+5在［2，+∞)上递增，∴递减区间为［2，+∞).

7.(2010全国大联考，5)下列函数：(1)y=x²;?(2)y=;?(3)y=2^x;(4)y=log₂x.其中不是偶函数且在区间(0，+∞)上也不是减函数的有(　　 )

A.0个　　　　　　　　　 B.1个　　　　　　　 C.2个　　　　　　　　 D.3个

答案：D

解析：(1)是偶函数，(2)(3)(4)都不是偶函数且在(0，+∞)上递增，故满足条件.

6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(x)在［0，+∞)上是减函数，则下列关系式中正确的是(　　 )

A.f(5)>f(-5)　　　　　　 B.f(4)>f(3)　　　　　　　 C.f(-2)>f(2)　　　　　　 D.f(-8)<f(8)

答案：C

解析：∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)<f(0)=0,f(-2)=-f(2)>0,即f(-2)>f(2).