9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n,a₁=1,a_n+1=S_n(n≥1),则a_n=

[答案]()·()^n-2

[解析]∵a_n+1=S_n,

∴a_n=S_n-1(n≥2).

①-②得,a_n+1-a_n=a_n,

∴(n≥2).

∵a₂=S₁=×1=,

∴当n≥2时，a_n=·()^n-2.

8.在等比数列中，S₅=93，a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=186,则a₈=___________________.

[答案]384

[解析]易知q≠1，由S₅==93及=186.

知a₁=3,q=2,故a₈=a₁·q⁷=3×2⁷=384.

7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于(　　 )

A.(S·S′　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.()ⁿ D.

[答案]B

[解析]设等比数列的首项为a₁,公比q(q≠1)

则P=a₁·a₂·…·a_n=a₁ⁿ·,

S=a₁+a₂+…+a_n=,

S′=+…+,

∴=(a₁²q^n-1=a₁ⁿ=P,

当q=1时和成立.

6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{a_n}中，a₁、a₉₉是方程x²-10x+16=0的两个根，则a₄₀·a₅₀·a₆₀的值为(　　 )

A.32　　　　　　　　 B.64　　　　　　　　 C.±64　　　　　　　　　　 D.256

[答案]B

[解析]因a₁·a₉₉=16,故a₅₀²=16,a₅₀=4,a₄₀·a₅₀·a₆₀=a₅₀³=64.

5.等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₂,a₃,a₁成等差数列，则的值是(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　 D.或

[答案]B

[解析]∵a₃=a₂+a₁,

∴q²-q-1=0,q=，或q=(舍).

∴.

4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a₁=,a_n=f(n)(n∈N^*),则数列{a_n}前n项和S_n的取值范围是(　　 )

A.［，2)　　　　　　　　　　　　　　　 B.［，2］

C.［，1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.［，1］

[答案]C

[解析]因f(n+1)=f(1)·f(n),则a_n+1=a₁·a_n=a_n，

∴数列{a_n}是以为首项，公比为的等比数列.

∴a_n=()ⁿ.

S_n==1-()ⁿ.

∵n∈N^*,∴≤S_n＜1.

3.数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+a,要使{a_n}是等比数列，则a的值为(　　 )

A.0　　 　　　　　　　B.1　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　　　　 D.2

[答案]C

[解析]∵a_n=

要使{a_n}成等比，则3+a=2·3^1-1=2·3⁰=2,即a=-1.

2.一个公比q为正数的等比数列{a_n}，若a₁+a₂=20,a₃+a₄=80,则a₅+a₆等于(　　 )

A.120　　　　　　　　 B.240　　　　　　 C.320　　　　　　　　　 D.480

[答案]C

[解析]∵a₁+a₂,a₃+a₄,a₅+a₆也成等比数列(公比为q²).

∴a₅+a₆==320.

1.b²=ac,是a,b,c成等比数列的(　　 )

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B.必要非充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

[答案]B

[解析]因当b²=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b²=ac.

14.已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.

(1)若a=2,求出A中其他所有元素.

(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.

(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论？请证明你的猜想(给出一条即可).

解析：(1)由2∈A,得=-3∈A.

又由-3∈A，得∈A.

再由-∈A，得∈A.

而∈A时，=2∈A.

故A中元素为2，-3，-，.

(2)0不是A的元素.若0∈A，则=1∈A，而当1∈A时，不存在，故0不是A的元素.

取a=3,可得A={3,-2,-}.

(3)猜想：①A中没有元素-1，0，1；

②A中有4个元素，且每两个互为负倒数.

证明：①由上题，0、1A，若0∈A，则由=0,得a=-1.

而当=-1时，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.

②设a₁∈A,则a₁∈Aa₂=∈Aa₃==-∈Aa₄==∈Aa₅==a₁∈A.

又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素：a₁,a₂,a₃,a₄,且a₁a₃=-1,a₂a₄=-1,显然a₁≠a₃,a₂≠a₄.

若a₁=a₂,即a₁=，得a₁²+1=0,

此方程无解；同理，若a₁=a₄,即a₁=,此方程也无实数解.

故a₁≠a₂,a₁≠a₄.∴A中有4个元素.