1.数列3，7，13，21，31，…的一个通项公式为(　　 )

A.4n-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.n³-n²+n+2

C.n²+n+1　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.n(n-1)(n+2)

[答案]C

[解析]令n=3,排除A、B、D.

14.设{a_n}是正数组成的数列,其前n项和为S_n,且对于所有的正整数n,有a_n=2-2.

(1)写出数列{a_n}的三项;

(2)求数列{a_n}的通项公式,并写出推证过程;

(3)令b_n=,求数列{b_n}的前n项和T_n.

[解析](1)由题意，当n=1时，有a₁=2-2,S₁=a₁，

∴a₁=2-2,解得a₁=2.

当n=2时，有a₂=2-2,S₂=a₁+a₂,

将a₁=2代入，整理得(a₂-2)²=16,

由a₂＞0，解得a₂=6.

当n=3时，有a₃=2-2,S₃=a₁+a₂+a₃,

将a₁=2,a₂=6代入，整理得(a₃-2)²=64,

由a₃＞0，解得a₃=10.

所以该数列的前三项分别为2，6，10.

(2)由a_n=2-2(n∈N^*),整理得S_n=(a_n+2)²,

则S_n+1=(a_n+1+2)²,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=［(a_n+1+2)²-(a_n+2)²］.

整理，得(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n-4)=0,

由题意知a_n+1+a_n≠0,∴a_n+1-a_n=4.

∴即数列{a_n}为等差数列，其中首项a₁=2，公差d=4,

∴a_n=a₁+(n-1)d=2+4(n-1).

即通项公式为a_n=4n-2(n∈N^*).

(3)b_n=,

T_n=b₁+b₂+…+b_n

=.

13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：

(Ⅰ)每年年末加1 000元；

(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.

(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？

(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？

[解析]设方案一第n年年末加薪a_n,因为每年末加薪1 000元，则a_n=1 000n；设方案二第n个半年加薪b_n，因为每半年加薪300元，则b_n=300n.

(1)在该公司干10年(20个半年)，方案(Ⅰ)共加薪S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55 000(元).

方案(Ⅱ)共加薪T₂₀=b₁+b₂+…+b₂₀=20×300+×300=63 000元.

(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：

S_n=a₁+a₂+…+a_n=1 000×n+×1 000=500n²+500n,

T_2n=b₁+b₂+…+b₂₀=2n×300+×300=600n²+300n；

令T_2n≥S_n即600n²+300n＞500n²+500n,解得，n≥2,当n=2时等号成立.

∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.

12.已知f(x)=x²-2(n+1)x+n²+5n-7,

(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；

(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n},求{b_n}的前n项和.

(1)证明：f(x)=［x-(n+1)²］+3n-8,

∴a_n=3n-8.∵a_n-1-a_n=3,

∴{a_n}为等差数列.

(2)[解析]b_n=|3n-8|,

当1≤n≤2时，b_n=8-3n,b₁=5.

S_n=；

当n≥3时，b_n=3n-8.

S_n=5+2+1+4+…+(3n-8)

=7+

=.

∴S_n=

11.{a_n}是等差数列，公差d＞0，S_n是{a_n}的前n项和，已知a₂a₃=40,S₄=26.

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)令b_n=，求数列{b_n}的所有项之和T.

[解析](1)S₄=(a₁+a₄)=2(a₂+a₃)=26.

又∵a₂a₃=40,d＞0，

∴a₂=5,a₃=8,d=3.

∴a_n=a₂+(n-2)d=3n-1.

(2)b_n==

T_n=.

10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式a_n=__________________.

[答案]

[解析]前n项一共有1+2+3+…+n=个自然数,设S_n=1+2+3+…+n=,则

a_n=.

9.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f()+f()+…+f()的值为_________________.

[答案]5

[解析]当x₁+x₂=1时,f(x₁)+f(x₂)

==1.

设S=f()+f()+…+f(),倒序相加有

2S=［f()+f()］+［f()+f()］+…+［f()+f()］=10.

即S=5.

8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:

则第n个图案中有白色地面砖_____________块.

[答案]4n+2

[解析]每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故a_n=6+4(n-1)=4n+2.

7.在等差数列{a_n}中,＜-1,若它的前n项和S_n有最大值,则下列各数中是S_n的最小正数值的是(　　 )

A.S₁ B.S₃₈ C.S₃₉ D.S₄₀

[答案]C

[解析]因S_n有最大值,故d＜0,又＜0.

因a₂₁＜a₂₀,故a₂₀＞0,a₂₀+a₂₁＜0.

∴S₄₀=20(a₁+a₄₀)=20(a₂₀+a₂₁)＜0.

S₃₉=39a₂₀＞0,S₃₉-S₃₈=a₃₉＜0.

又S₃₉-S₁=a₂+a₃+…+a₃₉=19(a₂+a₃₉)=19(a₁+a₄₀)＜0,

故选C.

6.已知数列{a_n}的通项为a_n=26-2n,若要使此数列的前n项之和S_n最大,则n的值是(　　 )

A.12　　　　　　　　　 B.13　　　　　　　　　 C.12或13　　　　　　　 D.14

[答案]C

[解析]由得12≤n≤13,

故n=12或13.